Question

prove que as diagonais de um paralelogramo se cortam ao meio? me ajudeeem por favor!

Answer 1

Geissinha,

Por definição, um paralelogramo é um quadrilátero em que os lados opostos são iguais e paralelos.
Vamos chamar aos vértices deste paralelogramo de A, B, C e D, no sentido horário, começando pelo vértice superior esquerdo.
Ao ponto de encontro das diagonais AC e BD, vamos chamar de M.

Provar que as diagonais se cortam ao meio, é provar que

AM = CM e que BM = DM [1]

Para isto, vamos considerar os triângulos ABM e CDM. 

Note que estes dois triângulos têm como lados dois lados do paralelogramo (AB e CD) e as duas "meias diagonais" (AM e CM, BM e DM).

Nós vamos provar que os dois triângulos são congruentes e, como consequência, os lados AM e CM, e BM e DM são iguais.

Os lados AB e CD do paralelogramo são paralelos e cortados pelas diagonais AC e BD.
Então, os ângulos BAM e DM são iguais, pois são alternos internos.
Os ângulos ABM e CDM também são iguais, pelo mesmo motivo.
Por definição, os lados AB e CD são iguais.

Então, os triângulos ABM e CDM são iguais, pelo caso ALA (ângulo, lado, ângulo).

Ora, se os dois triângulos são iguais (congruentes), então, além de
AB = CD, também

AM = CM e BM = DM [1]

Assim, as diagonais AC e BD são cortadas ao meio.