Question

Prove que as diagonais de um paralelogramo se cortam ao meio.

Answer 1

Imagine um paralelogramo ABCD como abaixo:

    D_______ C
     /              /
    /      M     /
A/_______/B

Imagine que as diagonais AC e BD se cortem no ponto M. Essas diagonais, junto com os lados do paralelogramo, formam 4 triângulos: MBC, MAD, MAB e MCD, com o vértice M em comum. Ora, como, por ser um paralelogramo, temos que BC = AD (em ambos são paralelos) e AB = CD (e ambos também são paralelos), temos que:

1 - O ângulo DBA é congruente ao ângulo BDC.
2 - O ângulo CMD é congruente ao ângulo AMB.
3 - O triângulo CMD é congruente ao triângulo AMB.
4 - O segmento AM é congruente ao segmento MC.
5 - M é o ponto médio do segmento AC.
6 - O segmento BD corta o segmento AC ao meio.
7 - O segmento BM é congruente ao segmento MD.
8 - M é o ponto médio do segmento BD.
9 - O segmento AC corta o segmento BD ao meio.

Por (6) e (9), temos que as diagonais de um paralelogramo se cortam ao meio.

Answer 2

Explicação passo a passo:

DP = PB então AP = PC

AP = AD + DP

AP = BC + PB

AP = PC