Question

PROVE QUE AS DIAGONAIS DE UM LOSANGO SÃO PERPENDICULARES

Answer 1

Chamemos aos vértices do losango de A, B, C e D e de O ao encontro de suas diagonais.
Um losango é um paralelogramo em que os 4 lados são iguais. Assim, AB = BC = CD = DA.
No losango as diagonais se encontram em seu ponto médio, ou seja, as semi-diagonais são iguais, duas a duas: AO = OC e BO = DO (1).
Consideremos agora dois dos triângulos formados pelos lados do losango e por suas diagonais. Consideremos os triângulos AOD e AOB.
Nestes dois triângulos, AD = AB, pois são lados do losango. AO é lado comum aos dois triângulos e DO = BO, pois ambos são semi-diagonais (1).
Então, os triângulos AOD e AOB são congruentes, pelo caso de congruência de triângulos LLL (os três lados são iguais).
Nestes dois triângulos, consideremos os ângulos DÔA e BÔA, formados pelas diagonais do losango. A soma destes dois ângulos é igual a 180º, pois os pontos D, O e B estão alinhados, pois pertencem à diagonal DB. Como os dois triângulos são congruentes, os ângulos correspondentes são também congruentes. Então, DÔA = BÔA (2)
Como DÔA + BÔA = 180º (3) e DÔA = BÔA (2), vamos substituir  DÔA por BÔA em (3) e teremos
BÔA + BÔA = 180º, ou
2 × BÔA = 180º, ou, ainda,
BÔA = 180º ÷ 2, ou, finalmente,
BÔA = 90º 
Como BÔA = DÔA, também teremos
DÔA = 90º