Question

Prove que:

a)
Um dos inteiros a, a + 2,, a + 4 é divisível por 3

b)
Um dos inteiros a, a + 1, a + 2, a + 3 é divisível por 4

Answer 1

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a) Mostrar que para qualquer $\mathsf{a}$ inteiro, um dos números

$\mathsf{a,~~a+2,~~a+4}$

é divisível por 3.


Vamos dividir por casos:

•   Caso I:  $\mathsf{a}$ é divisível por 3    $\checkmark$


•   Caso II:  $\mathsf{a}$ deixa resto 1 na divisão por 3:

$\mathsf{a=3k+1}\\\\ \mathsf{a+2=3k+1+2}\\\\ \mathsf{a+2=3k+3}\\\\ \mathsf{a+2=3(k+1)}$

$\therefore~~\mathsf{a+2}$ é divisível por 3.    $\checkmark$


•   Caso III:  $\mathsf{a}$ deixa resto 2 na divisão por 3:

$\mathsf{a=3k+2}\\\\ \mathsf{a+4=3k+2+4}\\\\ \mathsf{a+4=3k+6}\\\\ \mathsf{a+4=3(k+2)}$

$\therefore~~\mathsf{a+4}$ é divisível por 3.    $\checkmark$


Em qualquer caso, um dos números

$\mathsf{a,~~a+2,~~a+4}$

é divisível por 3, como queríamos demonstrar.

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b) Mostrar que para qualquer $\mathsf{a}$ inteiro, um dos números

$\mathsf{a,~~a+1,~~a+2,~~a+3}$

é divisível por 4.


•   Caso I:  $\mathsf{a}$ é divisível por 4    $\checkmark$


•   Caso II:  $\mathsf{a}$ deixa resto 1 na divisão por 4:

$\mathsf{a=4k+1}\\\\\mathsf{a+3=4k+1+3}\\\\\mathsf{a+3=4k+4}\\\\\mathsf{a+3=4(k+1)}$

$\therefore~~\mathsf{a+3}$ é divisível por 4.    $\checkmark$


•   Caso III:  $\mathsf{a}$ deixa resto 2 na divisão por 4:

$\mathsf{a=4k+2}\\\\\mathsf{a+2=4k+2+2}\\\\\mathsf{a+2=4k+4}\\\\\mathsf{a+2=4(k+1)}$

$\therefore~~\mathsf{a+2}$ é divisível por 4.    $\checkmark$


•   Caso IV:  $\mathsf{a}$ deixa resto 3 na divisão por 4:

$\mathsf{a=4k+3}\\\\\mathsf{a+1=4k+3+1}\\\\\mathsf{a+1=4k+4}\\\\\mathsf{a+1=4(k+1)}$

$\therefore~~\mathsf{a+1}$ é divisível por 4.    $\checkmark$


Em qualquer caso, um dos números

$\mathsf{a,~~a+1,~~a+2,~~a+3}$

é divisível por 4, como queríamos demonstrar.


Bons estudos! :-)


Tags:   divisibilidade congruência resto teoria dos números matemática discreta