Question

Prove que a seguinte igualdade é válida para $\forall x \in \mathbb{R}$

${ \sin (x) + \sin (2x) + ... + \sin ( \green{n}x)} = { \cos (x) + \cos (2x) + ... + \cos ( \green{n}x)}$

$\underline{\green{@\mathsf{ZIBIA}}}$, agradeço antecipadamente :)

$\text{\red{OBS}}$: não deixe de responder caso a igualdade não exista, basta (também) que prove o mesmo! Abraços!​

Answer 1

A desigualdade é claramente falsa para n = 1. De fato, sen(x)  = cos(x) é válido apenas para x = π/4 + kπ com k inteiro. Vamos deduzir uma fórmula para as somas

$S_n = \displaystyle \sum_{k = 1}^n \sin(kx)$

$C_n = \displaystyle \sum_{k = 1}^n \cos(kx)$

Considere o número complexo z = cos(x) + isen(x). Pela fórmula de De Moivre temos

$z^k = \cos(kx) + i\sin(kx)$

Ou seja:

$C_n + iS_n = z + z^2 + \cdots +z^n = \dfrac{z(z^n-1)}{z-1}$

Agora basta separar a parte real e a parte imaginária. Multiplicando o denominador e numerador pelo conjugado de z - 1 temos

$\dfrac{z(z^n-1)}{z-1} = \dfrac{z(z^n-1)(\overline z - 1)}{|z-1|^2} = \dfrac{z^n - z^{n+1} -1 +z}{|z-1|^2}$

Notamos que |z-1|² = 2(1-cos(x)) = 4sen²(x/2). Usando as fórmulas de transformação de soma em produtos teremos:

$C_n = \dfrac{\Re (z^n - z^{n+1} +z-1)}{4 \sin^2(\frac x2)} = \dfrac{\cos nx -\cos(nx+x) + \cos x -1}{4 \sin^2\frac x2} = \dfrac{\sin(nx +\frac x2) - \sin \frac x2}{2\sin \frac x2}$

$C_n = \dfrac{\cos\frac{(n+1)x}2 \sin \frac{nx}2 }{\sin \frac x2}$

$S_n = \dfrac{\Im (z^n - z^{n+1} +z-1)}{4 \sin^2(\frac x2)} = \dfrac{\sin nx -\sin(nx+x) + \sin x}{4 \sin^2\frac x2} = \dfrac{-\cos(nx +\frac x2) +\cos\frac x2}{2\sin \frac x2}$

$S_n = \dfrac{\sin\frac{(n+1)x}2 \sin \frac{nx}2 }{\sin \frac x2}$

Logo, para que seja Sₙ = Cₙ para todo x, devemos ter

$\sin \frac{(n+1)x}{2} = \cos \frac{(n+1)x}{2}$

para todo x, o que não ocorre. Logo a igualdade não é válida.

Resposta:

Qualquer que seja o natural n,  a igualdade não é verdadeira para todo x.