PROVE QUE A RAIZ QUADRADA DE 3 É IRRACIONAL
Soluções para a tarefa
Antes vamos demonstrar um lema.
(Lema é uma proposição que auxilia na demonstração de outra proposição.)
Se p² é múltiplo de 3, então p é múltiplo 3.
Para provar, vamos usar o fato de que se p não é múltiplo de 3, então p² não é múltiplo de 3.
Se p não é múltiplo de 3 existem q e r inteiros, tais que:
p = 3q + r
0 < r < 3
Na expressão, a letra q significa quociente e o rsignifica resto. Observe que p dividido por 3 dá um quociente q e nessa divisão obtemos um resto r. Para que p não seja divisível ou múltiplo de 3 o resto só pode ser 1 ou 2.
Por exemplo: 7 não é múltiplo de 3, então existem um q= 2 e um r = 1, tais que 7 = 3 × 2 + 1
Elevando p ao quadrado, temos:
p² = (3q + r)² = 9q² + 6qr + r²
Como 3 é o fator comum das duas primeiras parcelas, vem:
p² = 3(3q² + 2qr) + r²
Fazendo 3q² + 2qr = y, temos:
p² = 3y + r²
Para r = 1
p² = 3y + 1, não é múltiplo de 3.
Para r = 2
p² = 3y + 4 = 3y + 3 + 1 = 3(y + 1) + 1, não é múltiplo de 3.
Portanto, está provado o lema.
Agora, vamos supor que a raiz quadrada de 3 pode ser escrita como uma fração de numerador a e denominador b, com a e b primos entre si; ou seja, a fração é irredutível.
3–√=ab
elevamos os dois membros ao quadrado,
3=a2b2
multiplicamos os dois membros por b²
3b2=a2
Da última igualdade, vemos que a² é múltiplo de 3, assim a também é múltiplo de 3 e podemos escrever que a = 3k, sendo k um número natural. Substituindo 3k na última equação, temos:
3b2=(3k)2⇒
3b² = 9k²
e dividindo os dois membros por 3, temos:
b² = 3k²
Da equação acima podemos ver que b² é múltiplo de 3, logo b também é múltiplo de 3.
Chegamos a uma contradição, pois se a é múltiplo de 3 e b é múltiplo de 3 a fração ab não é irredutível.
Portanto, 3–√ é um número irracional.
Espero que tenha ajudado,
Na matemática há conjuntos numéricos, os quais são classificados como naturais, racionais, irracionais, entre outros.
Números irracionais são todos os números que não são racionais.
Por exemplo: a raiz quadrada de 2 é um número irracional, pois não é possível encontrar nenhuma fração onde nominador e denominador sejam números inteiros que seja igual a raiz de -2.
Pi (3,14) também é um número irracional, pois não existe nenhum número inteiro que dividido por outro número inteiro seja igual a Pi.
Números que possuem infinitas casas decimais que não há período também será um número irracional, pois não será possível encontrar uma geratriz ou fração equivalente ao número de origem.
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Espero ter ajudado. Bons estudos!
