Question

Prove que a média aritmética A de uma lista de números satisfaz
m《A《M, onde m e M são, respectivamente, o menor e o maior dos números.
Pode ser prova algébrica ou usando a relação Q》A》G, onde Q é a média quadrática, A é a média aritmética e G é a média geométrica.

Answer 1

Observe: seja a > b:

a > (a + b)/2 > b

2a > a + b > 2b

A desigualdade 2a > a + b, ao subtrair a de ambos os lados, temos a > b, o que é verdadeiro pela suposição inicial. A segunda desigualdade, a + b > 2b, ao subtrair b de ambos os lados, temos a > b, que também é verdadeiro.

Agora, assuma que a = b:

a = (a + b)/2 = b

2a = a + b = 2b

Substitua b por a:

2a = 2a = 2a

O que tem que ser verdadeiro.