Question

Prove que a interseção de n semiplanos é convexa. ​

Answer 1

Explicação passo a passo:

Primeiramente, provaremos que a interseção de dois semiplanos é convexa.

Sejam:

C e D ⇒ dois pontos;

r e s ⇒ duas retas;

$P_{rC}$ e $P_{sD}$ ⇒ dois semiplanos.

Sejam A, B ∈ $P_{rA}$ ∩ $P_{sA}$. Repare que se A ∈ $P_{rC}$, então $P_{rC}=P_{rA}$ e de forma análoga temos que $P_{sD}=P_{sA}$. Por definição, o segmento AB está contido em $P_{rA}$  ∩  $P_{sA}$. Portanto, como A e B são pontos arbitrários, $P_{rC}$ ∩ $P_{sD}$ é um convexo.

Agora, provaremos que a interseção de n semiplanos é convexa.

Sejam:

$A_1,A_2,...,A_n$ ⇒ pontos do plano;

$r_1, r_2, ...,r_n$ ⇒ retas;

i = 1, 2, ..., n ⇒ semiplanos;

A, B ⇒ dois pontos pertencentes à interseção desses semiplanos.

Utilizando o mesmo argumento do item anterior, temos que $P_r_i_A_i=P_r_i_A$ para i = 1, ..., n. Logo, por definição, o segmento AB pertence a $P_r_i_A$ para i = 1, 2, ..., n e, portanto, pertence à interseção. Assim, a interseção de n semiplanos é convexa.