Question

Prove que a derivada da função y=cotg(x)/1-cossec(x) é y'=cossec(x)/1-cossec(x)....

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Usando as dicas dadas na questão

$cotgx=\dfrac{cosx}{senx}\\\\e\\\\cossecx=\dfrac{1}{senx}$

substituindo na função dada

$y=\dfrac{\dfrac{cosx}{senx}}{1-\dfrac{1}{senx}}\\\\\\y=\dfrac{\dfrac{cosx}{senx}}{\dfrac{senx-1}{senx}}\\\\\\\\y=\dfrac{cosx}{senx-1}$

Agora vamos usar a regra do quociente para derivar a função

$y=\dfrac{u}{v} \\\\\\y'=\dfrac{u'.v-u.v'}{v^{2}}$

Portanto

$y'=\dfrac{-senx.(senx-1)-cosx.cosx}{(senx-1)^{2}}\\\\\\y'=\dfrac{-sen^{2} x+senx-cos^{2}x}{(senx-1)(senx-1)}\\\\\\y'=\dfrac{(senx-1)}{(1-senx)(1-senx)}\\\\\\y'=\dfrac{1}{senx-1}$

Dividindo o numerador e o denominador por senx

$y'=\dfrac{\dfrac{1}{senx}}{\dfrac{senx-1}{senx}}\\\\\\y'=\dfrac{\dfrac{1}{senx}}{\dfrac{senx}{senx}-\dfrac{1}{senx}}\\\\\\y'=\dfrac{cossecx}{1-cossecx}$