Question

prove que a bissetriz relativa a base de um triangulo isosceles é tambem mediana

Answer 1

Fórmula do seno da soma:

$\mathsf{sen\,(\gamma+\theta)=sen\,\gamma\cdot cos\,\theta+sen\,\theta\cdot cos\,\gamma}$

Lei dos senos:

Para um triângulo qualquer de lados a, e, o, com ângulos opostos sendo respectivamente Â, Ê, Ô, tem-se que

$\mathsf{\dfrac{a}{sen\,\^A}=\dfrac{e}{sen\,\^E}=\dfrac{o}{sen\,\^O}}$
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Considere o triângulo isósceles definido na imagem em anexo.

A bissetriz relativa a base do triângulo isósceles divide o ângulo  em dois ângulos de mesma medida (por definição de bissetriz), e encontra a base BC no ponto M de modo que AM = a, MB = b

Para mostrar que a bissetriz relativa a base de um triângulo isósceles é também a mediana, devemos mostrar que a = b.


Utilizando a lei dos senos no triângulo AMC, tiramos que

$\mathsf{\dfrac{b}{sen\,\alpha}=\dfrac{\ell}{sen\,\beta}\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\boxed{\boxed{\mathsf{b=\ell\cdot\dfrac{sen\,\alpha}{sen\,\beta}}}}}$

Utilizando a lei dos senos no triângulo AMB,

$\mathsf{\dfrac{a}{sen\,\alpha}=\dfrac{\ell}{sen\,(180\º-\beta)}\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\boxed{\boxed{\mathsf{a=\ell\cdot\dfrac{sen\,\alpha}{sen\,(180\º-\beta)}}}}}$

Usando a fórmula do seno da soma, temos que

$\mathsf{sen\,(180\º-\beta)=sen\,180\º\cdot cos\,\beta-sen\,\beta\cdot cos\,180\º}\\\\\mathsf{=0\cdot cos\,\beta-sen\,\beta\cdot(-1)}\\\\\mathsf{=sen\,\beta}$

Portanto, concluímos que

$\begin{cases}\mathsf{b=\ell\cdot\dfrac{sen\,\alpha}{sen\,\beta}}\\\\\mathsf{a=\ell\cdot\dfrac{sen\,\alpha}{sen\,(180\º-\beta)}=\ell\cdot\dfrac{sen\,\alpha}{sen\,\beta}}\end{cases}$

Com isso, concluímos que a = b. Logo, a bissetriz relativa a base de um triângulo isósceles é também uma mediana.

Answer 2

Seja o triângulo ABC. Tracemos a mediana AM relativa ao lado BC, temos BM = CM (por definição de mediana). Como AM também é bissetriz (por hipótese), então ∠BAM = ∠MAC (por definição de bissetriz).

Obs: ∠BAM, por exemplo, é o ângulo com vértice em A e lados em B e M.

Sobre a reta que contém o segmento AM seja um ponto arbitrário F, com M entre A e F, tal que MF = AM. (imagem 1)

Dois segmentos de reta (BC e AF) cruzam-se em M. Logo, ∠BMA = ∠FMC (o.p.v). Os triângulos ΔBMA e ΔFMC são congruentes, pois BM = MC,   ∠BMA = ∠FMC (o.p.v)  e AM = MF (por construção), ou seja, são congruentes por L.A.L. Então AB = FC e ∠MFC = ∠BAM, mas ∠BAM = ∠MAC. Portanto, ∠MFC = ∠MAC.  (imagem 2)

Como o triângulo ΔAFC é isósceles (ângulos da base, ∠MFC e ∠MAC congruentes), então AC = FC, mas AB = FC. Logo, AB = AC, c.q.d.