Question

prove que a ≡ b (mód. m) e se c é um inteiro qualquer, então: a + c ≡ b + d (mód.m), a - c ≡ b - d (mód.m) e a.c ≡ b.c (mód.m)

Answer 1

Dizemos que a é conguente a b módulo m, e escrevemos

$a\equiv b(mod~m)$

se $m|(a-b)~\longrightarrow~\exists~k\in\mathbb{Z}~tal~que~a-b=m\cdot k$
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Acho que se esqueceu de dizer que $c\equiv d(mod~m)$, certo?

Se $a\equiv b~mod(m)$, então $a-b=k_{1}\cdot m,~k_{1}\in\mathbb{Z}$

Se $c\equiv d(mod~m)$, então $c-d=k_{2}\cdot m,~m\in\mathbb{Z}$

a + c ≡ b + d(mod m):

Temos

$\begin{cases}a-b=k_{1}\cdot m\\c-d=k_{2}\cdot m\end{cases}$

Somando as equações:

$a-b+c-d=k_{1}\cdot m+k_{2}\cdot m\\\\a+c-b-d=(k_{1}+k_{2})\cdot m\\\\a+c-(b+d)=(k_{1}+k_{2})\cdot m$

Como k₁ + k₂ é uma soma de inteiros, é um número inteiro. Portanto, m divide (a + c) - (b + d), então, por definição:

$\boxed{\boxed{a+c\equiv b+d(mod~m)}}$
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a - c ≡ b - d(mod m):

Temos, da primeira demonstração, que

$\begin{cases}a-b=k_{1}\cdot m\\c-d=k_{2}\cdot m\end{cases}$

Subtraindo as equações:

$(a-b)-(c-d)=k_{1}\cdot m-k_{2}\cdot m\\\\a-b-c+d=(k_{1}-k_{2})\cdot m\\\\(a-c)+(d-b)=(k_{1}-k_{2})\cdot m\\\\(a-c)-(b-d)=(k_{1}-k_{2})\cdot m$

Da mesma forma, k₁ - k₂ é inteiro, então m divide (a - c) - (b - d). Então

$\boxed{\boxed{a-c\equiv b-d(mod~m)}}$
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ac ≡ bc(mod m):

Se a ≡ b(mod m), então

$a-b=k_{1}\cdot m$

Multiplicando os dois lados da equação por c (inteiro qualquer):

$c\cdot(a-b)=c\cdot k_{1}\cdot m\\\\a\cdot c-b\cdot c=(k_{1}\cdot c)\cdot m$

Como k₁ e c são inteiros, k₁c é inteiro, então m divide ac - bc. Logo:

$\boxed{\boxed{ac\equiv bc(mod~m)}}$