Question

Prove que a altura do triângulo equilátero e igual a
L√3 |2

Answer 1

Demonstração:

Seja $ABC$ um triângulo equilátero cujos lados medem $L$.

A área de um triângulo qualquer é dada por:

$A = \frac{\big{1}}{\big{2}}\cdot b \cdot h$

onde $b$ é o comprimento de um lado tomado como base e $h$ é o comprimento da altura relativa àquela base.

Tomemos o lado $BC$ por base.

Seja $AH$ a altura relativa ao lado $BC$. Como $ABC$ é equilátero, $AH$ é também a mediana relativa a $BC$, pois os triângulos $ABH$ e $ACH$ são congruentes (critério $LAA_o$).

Assim, $BH = \frac{\big{L}}{\big{2}}.$

Pelo Teorema de Pitágoras:

$\left(AB\right)^2 = \left(BH\right)^2 + \left(AH\right)^2\\\\\Longleftrightarrow L^2 = \left(\frac{\big{L}}{\big{2}}\right)^2 + \left(AH\right)^2\\\\\Longleftrightarrow L^2 = \frac{\big{L^2}}{\big{4}} + \left(AH\right)^2\\\\\Longleftrightarrow \left(AH\right)^2 = \frac{\big{3L^2}}{\big{4}}\\\\\Longleftrightarrow AH = \frac{\big{L\sqrt{3}}}{\big{2}}$

Ora, $AH$ é a altura relativa ao lado $BC$. Assim, determinemos a área do triângulo:

$A = \frac{\big{1}}{\big{2}}\cdot BC \cdot AH\\\\\Longleftrightarrow A = \frac{\big{1}}{\big{2}}\cdot L \cdot \frac{\big{L\sqrt{3}}}{\big{2}}\\\\\Longleftrightarrow \boxed{A = \frac{\big{L^2\sqrt{3}}}{\big{4}}}$

QED.