Question

Prove que (7^n) -1 é múltiplo de 6

Answer 1

Provar que:

     $\mathsf{7^n-1}\qquad \textsf{\'e divis\'ivel por 6}\qquad \mathsf{\forall\ n\in {\mathbb{N}}}}$


Primeiro vamos provar para base 1:

     $\mathsf{7^n-1}$

  $\mathsf{=7^1-1}$

  $\mathsf{=6}$

É divisível por 6.


Agora vamos propor a seguinte hipótese: funciona para n = k:

     $\mathsf{7^k-1=6a}$

É divisível por 6.


Através da hipótese, vamos testar a tese: funciona para n = k + 1

     $\mathsf{7^{k+1}-1}$

  $\mathsf{=7\cdot 7^k-1}$

  $\mathsf{=6\cdot 7^k+7^k-1}$

  $\mathsf{=6\cdot 7^k+6a}$

  $\mathsf{=6\cdot (7^k+a)}$

Podemos afirmar que 7^(k+1) - 1 também é divisível por 6.


Com isso está provado por indução finita que 7^n - 1 é divisível por 6 para todo n ∈ N.


Bons estudos! =)

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

7 ≡ 1 mod(6)

7^n ≡ 1^n mod(6)

7^n - 1 ≡ 1 - 1 mod(6)

7^n - 1 ≡ 0 mod(6) cqd