Question

Prove que 5 é um número irracional. (Demonstração por Absurdo).

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

A nossa tese é que 5 é um número Irracional. T = (5 Irracional). Dizer que ela é falsa é dizer que 5 é um número Racional. Ora, todo número racional pode ser escrito na forma de fração, como  $5 = \frac{5}{1}$  , chegamos a um absurdo. Já que 5 era Irracional e se provou Racional.

Answer 2

Resposta: A partir dos dados fornecidos pelo problema e dos devidos cálculos que realizaremos, é possível verificar que 5 é um número irracional.

O método da prova por absurdo consiste em provar que um resultado é verdadeiro mostrando que não pode ser de outra forma. Consiste em supor que o resultado a ser provado é falso e chegar, a partir daí, a uma contradição.

Ou seja, assumimos como verdade algo que inicialmente pensamos ser mentira e, depois de realizar algumas operações matemáticas, chegamos a uma contradição lógica. Isso indica que nossa suposição inicial era uma mentira, o caso oposto se mostrou verdadeiro.

Para este caso devemos demonstrar que o número 5 é irracional, para isso partiremos da seguinte hipótese: 5 é racional. É por isso que a expressamos como o resultado do quociente de dois inteiros p e q:

$\sf {5=\dfrac{p}{q} ,\rm~com~ p,q \in \mathbb{Z}~tal ~que~ q\not = 0}\quad \rm{(i)}$

E sem perder nenhuma generalidade tomamos p e q como positivos e primos entre si, de modo que $\bf\dfrac{p}{q}$ é uma fração irredutível. Elevamos os dois termos de igualdade ao quadrado para nunca perder nossa igualdade:

$\sf {25=\dfrac{p^2}{q^2}}$

E se passarmos o fator do denominador da nossa fração irredutível para a outra parte da nossa expressão e se fizermos isso podemos obter:

$\Longrightarrow ~\sf 25 q^2= p^2\quad\rm{(ii)}$

Vamos dar uma boa olhada na expressão (ii), podemos ver que $\bf q^2$ vezes 25 é igual a $\bf p^2$, e o que isso significa? Isso só pode significar que o número $\bf q^2$ é um múltiplo de 25, pois se não for um múltiplo de 25 matematicamente, a igualdade quebra.

Então logicamente se $\bf p^2$ é um múltiplo de 25 também $\bf p$ deve ser um múltiplo de 25. Agora vamos provar isso, para provar isso vamos aplicar pela segunda vez a avaliação por absurdo e para isso vamos dizer que $\bf p$ não é igual a 25 por um inteiro chamado $k$

$\sf p\neq 25\cdot k~com~k\in\mathbb{Z}$

• E se elevarmos ao quadrado ambas as partes podemos obter:

$\Longrightarrow \sf p^2\neq 625\cdot k^2\\\\ \Longleftrightarrow \sf p^2\neq 25(25\cdot k^2)$

Como a variável $\bf k$ é um inteiro $\bf k^2$ ainda será um inteiro e se multiplicarmos por 25 ainda será um inteiro, então a expressão $\bf 25\cdot k^2$ é igual a $\bf k _ 1$, onde $\bf k _1$ é um número inteiro.

$\Longrightarrow \sf p^2\neq 25\cdot k _1~com ~k _1\in \mathbb{Z}$

E o que isto significa? Isso significa que o número $\bf p^2$ não é um múltiplo de 25, isso é um tanto absurdo, pois na verdade $\bf p^2$ é um múltiplo de 25 e isso foi obtido usando avaliação absurdo dizendo que $\bf p$ não é um múltiplo de 25.

Então fica provado que $\bf p$ é afirmativo se for múltiplo de 25. Como já mostramos que $\bf p$ é um múltiplo de 25, então $\bf p$ pode ser escrito como 25 multiplicado por qualquer inteiro, sendo $\bf k_2$ esse mesmo número inteiro.

$\sf p= 25 k _2~com~k _2\in\mathbb{Z}\qquad \rm{(iii)}$

Agora substituindo o valor da expressão (iii) na expressão (ii) podemos obter:

$\Longrightarrow ~\sf 25 q^2= (25 k _2)^2\quad\rm{(ii)}\\\\ \Longleftrightarrow ~\sf 25 q^2=625 k^2 _2 \\\\ \Longleftrightarrow ~\sf q^2=25 k^2 _2$

Podemos ver novamente que $\bf q^2$ é um múltiplo de 25, então também $\bf q$ também é um múltiplo de 25 e de acordo com a prova anterior podemos ver que $\bf q$ se for um múltiplo de 25 e pode ser escrito como 25 para qualquer número inteiro.

• Quer dizer que:

$\sf q= 25 k _3~com~k _3\in\mathbb{Z}\qquad \rm{(iv)}$

De acordo com a expressão (iii) e (iv) podemos ver que q e p têm um múltiplo comum e é o número 25 mas de acordo com a suposição da expressão (i) q e p eram números primos (eles só têm dois ou um divisor em comum), então já chegamos ao absurdo.

Conclusão: O número 5 é um número irracional.

Bons estudos =)