Question

Prove que 5 divide a^5 − a onde a é um inteiro.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Seja N = a⁵ - a

N = a⁵ - a

N = a.(a⁴ - 1)

N = a.[(a²)² - 1]

N = a.(a² - 1).(a² + 1)

N = a.(a - 1).(a + 1).(a² + 1)

Quando dividimos um número por 5, há 5 possibilidades para o resto: 0, 1, 2, 3, 4

Há 5 possibilidades:

=> a ≡ 0 (mod 5)

Se 5 | a, então 5 | N

=> a ≡ 1 (mod 5)

a - 1 ≡ 1 - 1 (mod 5)

a - 1 ≡ 0 (mod 5)

Como 5 | (a - 1), então 5 | N

=> a ≡ 2 (mod 5)

a² ≡ 2² (mod 5)

a² ≡ 4 (mod 5)

a² + 1 ≡ 4 + 1 (mod 5)

a² + 1 ≡ 5 (mod 5)

a² + 1 ≡ 0 (mod 5)

Se 5 | (a² + 1), segue que 5 | N

=> a ≡ 3 (mod 5)

a² ≡ 3² (mod 5)

a² ≡ 9 (mod 5)

a² ≡ 4 (mod 5)

a² + 1 ≡ 4 + 1 (mod 5)

a² + 1 ≡ 5 (mod 5)

a² + 1 ≡ 0 (mod 5)

Como 5 | (a² + 1), podemos afirmar que 5 | N

=> a ≡ 4 (mod 5)

a + 1 ≡ 4 + 1 (mod 5)

a + 1 ≡ 5 (mod 5)

a + 1 ≡ 0 (mod 5)

Se 5 | (a + 1), então 5 | N

Logo, 5 | (a⁵ - a)