Question

PROVE QUE √3 É IRRACIONAL !!

Answer 1

vamos supor que a raiz quadrada de 3 possa ser escrita como uma fração de numerador "a" e denominador "b", com "a"e "b" primos entre si; ou seja, a fração é irredutível.

√3=ab


elevamos os dois membros ao quadrado,

3=a²/b/2


multiplicamos os dois membros por b²

3b²=a²

a² é múltiplo de 3, assim "a" também é múltiplo de 3 e podemos escrever que a = 3k, sendo k um número natural. Substituindo 3k na última equação, temos:

3b²=(3k)²⇒

3b² = 9k²

e dividindo os dois por 3, temos:

b² = 3k²

podemos ver que b² é múltiplo de 3, logo b também é múltiplo de 3.

Chegamos a uma contradição, pois se "a" é múltiplo de 3 e "b" é múltiplo de 3 a fração a/b não é irredutível.

Portanto, √3 é um número irracional.