Question

PROVE QUE ³√2 É IRRACIONAL!!!

Answer 1

Vamos provar por absurdo:
Primeiro vamos supor que $\sqrt[3]{2}$ é racional e é uma fração irredutível $\frac{a}{b}$ com a e b pertencentes aos inteiros e $b \neq 0$.
$\sqrt[3]{2} = \frac{a}{b}$
$2 = \frac{a^3}{b^3}$
$b^3 = \frac{a^3}{2}$
Cuidado neste momento! Perceba que b e a são números inteiros, portanto, $b^3$ e $a^3$ também são números inteiros. Sendo assim $\frac{a^3}{2}$ é inteiro, e para isso devemos ter $a^3$ par, portanto, $a$ é par.
Agora vamos dizer que $a = 2k$ (lembre-se que $a$ é par, portanto $k$ é inteiro), então:
$b^3 = \frac{(2k)^3}{2}$
$2k^3 = \frac{b^3}{2}$
Dessa forma, temos que $b$ é par, o que gera uma contradição pois definimos que $\frac{a}{b}$ é uma fração irredutível. Portanto tal fração não existe e $\sqrt[3]{2}$ é irracional.