Question

Prove que √2 é irracional.


Não quero uma prova por contradição.


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Por favor responder de forma detalhada. Respostas com brincadeiras serão eliminadas.

Answer 1

Para provarmos que a raiz quadrada de 2 é irracional, vamos transformá-la em outro tipo de notação.

$\sqrt{2}=1+ \sqrt{2}-1\\\sqrt{2}=1+\frac{(\sqrt{2}-1)*(\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}+1}\\\sqrt{2}=1+\frac{2-1}{1+\sqrt{2}}\\\sqrt{2}=1+\frac{1}{1+\sqrt{2}}\\\sqrt{2}=1+\frac{1}{1+1+\frac{1}{1+\sqrt{2}}}\\\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\sqrt{2}}}\\\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+1+\frac{1}{1+\sqrt{2}}}}\\\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\sqrt{2}}}}\\\\\boxed{\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+...}}}}}$

Podemos observar que a raiz quadrada de 2 representa uma fração contínua simples infinita $\sqrt{2}=[1;2;2;2;2;...]$, então esse número é irracional, pois todo número racional pode ser escrito na forma de uma fração contínua simples finita .

Podemos provar a afirmação acima por indução.

Considerando z=p/q ; em que p e q sejam primos entre si e q>0. Primeiramente, se q=1, a fração contínua será apenas z=[p]. Seja q>1 e assumindo que todo racional com denominador menor que q pode ser representado por uma fração contínua finita.

Dividimos p por q para obtermos o quociente a e o resto r:

p=aq+r        (0<r<q)

O resto não será 0 desde que p e q são primos entre si, então, pela hipótese indutiva podemos escrever q/r como uma fração contínua finita $[b_0,b_1,b_2,b_3...b_m]$ e então temos:

$z=\frac{p}{q}=a+\frac{r}{q}=a+\frac{1}{q/r}=[a,b_0,b_1,b_2,b_3...b_m]$

Isso prova o passo indutivo, e o resultado continua.

Portanto, por meio de frações contínuas, provamos que $\sqrt{2}$ é irracional.