Question

Prove que: 2+ cos alfa -2 sen^2 alfa/1-sen^2 alfa - 1/cos alfa. = 2

Answer 1

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Ajuste ao enunciado:  Faltou colocar os parênteses no lugar apropriado, mas como foi pedida uma prova, a forma adequada para expressão seria exatamente a seguinte:

     Prove que  [(2 + cos α – 2 sen² α)/(1 – sen² α)] – (1/cos α) = 2


 ou ainda mais claramente,

    Prove que   $\mathsf{\dfrac{2+cos\,\alpha-2\,sen^2\,\alpha}{1-sen^2\,\alpha}-\dfrac{1}{cos\,\alpha}=2}$

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A identidade trigonométrica utilizada nesta tarefa é obtida da relação fundamental:

     •   1 – sen² α = cos² α

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Partindo do lado esquerdo:

     $\mathsf{\dfrac{2+cos\,\alpha-2\,sen^2\,\alpha}{1-sen^2\,\alpha}-\dfrac{1}{cos\,\alpha}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{2+cos\,\alpha-2\,sen^2\,\alpha}{cos^2\,\alpha}-\dfrac{1}{cos\,\alpha}}$


Reduza as frações ao mesmo denominador comum:

     $=\mathsf{\dfrac{2+cos\,\alpha-2\,sen^2\,\alpha}{cos^2\,\alpha}-\dfrac{cos\,\alpha}{cos^2\,\alpha}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{2+\,\diagup\!\!\!\!\!\! cos\,\alpha-2\,sen^2\,\alpha-\,\diagup\!\!\!\!\!\!cos\,\alpha}{cos^2\,\alpha}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{2-2\,sen^2\,\alpha}{cos^2\,\alpha}}$


Coloque o  2  em evidência no numerador:

     $=\mathsf{\dfrac{2\cdot (1-sen^2\,\alpha)}{cos^2\,\alpha}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{2\cdot \:\diagup\!\!\!\!\!\!\! cos^2\,\alpha}{\:\diagup\!\!\!\!\!\!\!cos^2\,\alpha}}\\\\\\ =\mathsf{2}\qquad\quad\checkmark$

como queríamos demonstrar.


Bons estudos! :-)