Question

prove que 2+6+18+...+2.3^(n-1) = 3^n - 1

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

$\sf 2+6+18+\dots+2\cdot3^{n-1}=3^n-1$

A base é $\sf n=1$:

$\sf 2\cdot3^{1-1}=3^1-1$

$\sf 2\cdot3^0=3-1$

$\sf 2=2$

A base está correta

Supondo que a igualdade seja válida para um $\sf n=k$. Vamos provar que vale para $\sf n+1$

$\sf 2+6+\dots+2\cdot3^{n-1}+2\cdot3^{n}=3^{n+1}-1$

Substituindo $\sf 2+6+\dots+2\cdot3^{n-1}$ por $\sf 3^n-1$:

$\sf 3^n-1+2\cdot3^n=3^{n+1}-1$

$\sf 3^{n}+2\cdot3^{n}-1=3^{n+1}-1$

$\sf 3^{n}\cdot(1+2)-1=3^{n+1}-1$

$\sf 3^{n}\cdot3-1=3^{n+1}-1$

$\sf 3^{n+1}-1=3^{n+1}-1$