Question

prove que: 1.1!+2.2!+3.3!+..n,n!=(n+1)!-1

Answer 1

 Por Indução Finita!

- verifiquemos se a igualdade é verdadeira quando $\boxed{n=1}$ 

$1\cdot1!=(1+1)!-1\\1=2-1\\1=1$


- quando $\boxed{n=k}$ 

$1\cdot1!+2\cdot2!+...+k\cdot\,k!=(k+1)!-1$


 Por fim,

- quando $\boxed{n=k+1}$

$1\cdot1!+2\cdot2!+...+k\cdot\,k!+(k+1)\cdot(k+1)!=(k+1+1)!-1\\\\\underbrace{1\cdot1!+2\cdot2!+...+k\cdot\,k!}_{(k+1)!-1}+(k+1)\cdot(k+1)!=(k+2)!-1\\\\(k+1)!-1+(k+1)(k+1)!=(k+2)(k+1)!-1\\\\(k+1)!+(k+1)(k+1)!=(k+2)(k+1)!\\\\(k+1)!\left[1+(k+1)\right]=(k+2)(k+1)!\\\\\boxed{(k+1)!(k+2)=(k+2)(k+1)!}$

 Cqd.

Answer 2

A prova de que 1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + n.n! = (n + 1)! - 1 está logo abaixo.

Vamos provar utilizando o método da indução.

P[n] é 1.1! + 2.2! + 3.3! + ... +  n.n! = (n + 1)! - 1.

Quando n = 1, tem - se que 1.1! = 1 = 2! - 1.

Portanto, P[1] é válida.

Hipótese de Indução: Suponha que P[n] é válida para um natural n arbitrário fixado. Ou seja, suponha que vale 1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + n.n! = (n + 1)! - 1. Deve-se provar que 1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + (n + 1).(n + 1)! = (n + 2)! - 1, isto é, que P[n + 1] é verdade:

1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + n.n! + (n + 1).(n + 1)! =

(n + 1)! - 1 + (n + 1).(n + 1)! =

(n + 1)!(1 + n + 1) - 1 =

(n + 1)!(n + 2) - 1 =

(n + 2)! - 1.

Portanto, P[n + 1] é verdadeira. Como o natural n inicial era arbitrário, provou-se então que para todo n ∈ IN, P[n] ⇒ P[n + 1].

Logo, pelas etapas acima e pelo PIM, tem-se que P[n] é válida para todo n natural, cqd.

Para mais informações sobre indução, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/18264529