Question

prove por induncao a seguinte fórmula : 1+2+...+(2n-1)=m ao quadrado, para todo m pertencente N natural. resposta com o cálculo

Answer 1

Vamos lá.

Francimeri, parece-nos que a sequência que você escreveu não está correta. A sequência seguinte é que seria a correta, veja:

1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n-1) = n² .

Bem, se for isso mesmo, veja que:

S(n) = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n – 1) = n²

Agora deveremos fazer o seguinte: provaremos que S(n) é válida para n = 1, ou seja, para S(1); e depois, provaremos que a sequência também é válida para "n+1", ou seja, para S(n+1).

i) Para S(1) = 1², teremos que: (2*1-1) = 1² ---> (2-1) = 1 ---> 1 = 1 <--- Então, para n = 1 está provado que a sequência é verdadeira.

ii) Agora, partindo do fato de que S(n) é verdadeira para n = 1, vamos provar que S(n+1) = (n+1)² [já que S(n) = n², então S(n+1) deverá ser igual a (n+1)²]. Assim, teremos:

S(n+1) = 1 + 3 + 5 + 7 + (2n – 1) + (2n+1) <--- Veja que, no primeiro membro,somamos o próximo número ímpar logo após o "2n-1", que é o "2n+1".
Agora, utilizando a hipótese de indução S(n) = n²,  e utilizando-se apenas o 2º membro, note que deveremos somar (2n+1) também ao 2º membro, pois, como você viu na primeira passagem acima, nós somamos, ao primeiro membro, o próximo número ímpar, que foi (2n+1). E, para não alterar, deveremos somar também este mesmo número ao 2º membro. Assim, teremos:

S(n+1) = n² + (2n+1) ----- retirando-se os parênteses no 2º membro, teremos:

S(n+1) = n² + 2n + 1 ----- note que isto nada mais é do que (n+1)². Então:

S(n+1) = (n+1)² <------ Veja que acabamos de provar que a fórmula é válida para todo "n" natural, pois: se S(n) = n², então S(n+1) teria que ser igual a (n+1)², para provar que a sequência também é válida para (n+1).

Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.