Question

prove por indução
$2 + 4 + 6 + ... + 2n= {n}^{2} + n$
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Answer 1

Explicação passo-a-passo:

(i) Para n = 1

2 . 1 = 2

${1}^{2} + 1 = 2$

logo (i) é verdadeiro

(ii) Vamos supor que para n = k a sentença seja verdadeira. Asssim:

:

$2 + 4 + 6 + ... + 2k = {k}^{2} + k</p><p></p><p>$

$2 + 4 + 6 + ... + 2k = k.(k + 1)$

(iii) Vamos supor que a proposição seja verdadeira para

n = k + 1 . Assim:

$2 + 4 + 6 + ... + 2k +2.(k + 1)= {.(k + 1)}^{2} + .(k + 1)$

$2 + 4 + 6 + ... + 2k +2k + 2= (k + 1)(k + 1).+ .(k + 1)$

$2 + 4 + 6 + ... + 4k + 2= (k + 1)((k + 1).+ 1)$

$2 + 4 + 6 + ... + 4k + 2= (k + 1)((k + 2)$

Devemos provar que:

$2 + 4 + 6 + ... + 4k + 2= (k + 1)((k + 2)$

Sabemos que:

$2 + 4 + 6 + ... + 2k = k.(k + 1)$

Somando 2k + 2 em ambos os lados:

$2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2k + 2 = k.(k + 1) + 2k + 2$

$2 + 4 + 6 + ... + 4k + 2 = {k}^{2} + k + 2k + 2$

$2 + 4 + 6 + ... + 4k + 2 = {k}^{2} + 3k + 2$

$2 + 4 + 6 + ... + 4k + 2 = (k + 1)(k + 2)$

logo (iii) é verdadeira.