Question

Prove por indução que:
Para qualquer natural n>1, vale $n^{2} \ \textgreater \ n + 1$

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Demonstração

Casos base:

• n = 2: $2^4 > 2 +1$ (verdade!)
• n = 3: $3^2 > 3+1$ (verdade!)

Hipótese de Indução

(Considere que seja verdade)

• $k^2 > k + 1 ,\qquad k >1$

Passo Indutivo

(Devo mostrar que o caso seguinte é verdade)

• $(k+1)^2 > (k+1)+1$

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Tá, basicamente nós vimos nos casos base que, para os primeiros números naturais, a afirmação $n^2 > n+1$ é verdade.

Aí, façamos de conta que lá no meio dos testes, a afirmação seja verdade para o teste de número k, isto é, n = k.

Devemos mostrar que no caso sucessor

n = k + 1 a inequação também será verdade.

Vamos mostrar isso agora.

$</p><p></p><p>\begin{align}</p><p></p><p>(k+1)^2 &= k^2 + 2k + 1 \\</p><p>&> (k+1) +2k +1\\</p><p>&> (k+1) +1</p><p></p><p>\end{align}</p><p></p><p>$

O que foi usado:

• Da primeira linha (que tem a equação) para a segunda nós usamos a hipótese.
• Da segunda para a terceira linha nós usamos que $k > 1 \implies 2k > 0$.

Está provado, então, que se a inequação funciona para um caso qualquer

$n = k \in \mathbb{N}: \; k> 1$

Então a inequação deve valer para o caso seguinte. E o seguinte. E o seguinte. E o seguinte....

Então a inequação vale para qualquer natural maior do que 1.

Isto conclui a demonstração por indução. $\blacksquare$

Fim.