Question

Prove por indução que, para qualquer n ∈ N:

1 + 8 + 27 + ... + n³ = (1 + 2 + ... + n)²

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

N= 1. Se n=1 temos que 1³ =1 = 1², então é valida a propriedade.

Suponha que, 1³+2³+3³+....+n³ =(1+2+3+...+n)². provaremos que valerá para n+1.

1³+2³+....+n³+(n+1)³= (1³+2³+...+n³)+ (n+1)³= (1+2+3+...+n)² +(n+1)²(n+1)

   Note que,

$1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$

*Provando rapidamente por indução temos:

n=1 => 1 = 1.(1+1)/2 = 2/2 =1, então vale.

Suponhamos que

$1+2+...+n= \frac{n(n+1)}{2}$.

Para n+1, temos: $(1+2+..+n)+n+1=\frac{n(n+1)}{2} +n+1 = \frac{n^2+n+2n+2}{2} =  \frac{n^2+3n+2}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2} \\\frac{(n+1)(n+1+1)}{2}$

Portanto será válida para todo n∈N.

Voltando para a questão, temos:

$(1+2+3+...+n)^2+(n+1)^2(n+1)=[\frac{n(n+1)}{2} ]^2+(n+1)^2(n+1)=\\\frac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^2(n+1)=\frac{n^2(n+1)^2+4(n+1)^2(n+1)}{4}=\frac{n^2(n+1)^2+(n+1)^2(4n+4)}{4}$

$\frac{(n+1)^2(n^2+4n+4)}{4} =\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4} =\frac{(n+1)^2(n+1+1)^2}{2^2} \\\\=(1+2+...+n+n+1)^2=(1+2+...+n+1)^2$  

Portanto, a proposição valerá para todo n∈N!