Question

Prove por indução que a soma dos
n primeiros números pares é igual
a n.(n+1).

Answer 1

Olá.

Os números pares podem ser escritos na forma 2n, onde "n" representa qual a ordem do número par - ou seja, representante se é o 1°, 2°, 3°, ... .

O somatório de todos os pares, até um terno n-ésimo, pode ser calculando usado conceitos de Progressão Aritmética.

O primeiro termo será 2 (pois, 2n iria se tornar 2 • 1, que é igual a 2).

O último termo, o n-ésimo, podemos calcular usando o termo geral da P.A, onde a razão será 2. Teremos:

$\mathsf{a_n=a_1+(n-1)r}\\\\\mathsf{a_n=2+(n-1)2}\\\\\mathsf{a_n=2n}$

O somatório de todos os termos pode ser calculado a partir da fórmula da soma de termos de uma P.A. Teremos:

$\mathsf{S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}}\\\\\\\mathsf{S_n=\dfrac{(2+2n)n}{2}}\\\\\\\mathsf{S_n=\dfrac{2n+2n^2}{2}}\\\\\\\mathsf{S_n=n+n^2}\\\\ \mathsf{S_n=n(n+1)}$

Como o somatório dos n termos pares é igual à fórmula dada no enunciado, podemos tomar essa última como verdade.

Para utilizar indução, tomando a fórmula inicial como verdadeira, podemos trocar n por k. Assim, teremos que provar se a seguinte fórmula é valida para k + 1.

$\mathsf{S_k=k(k+1)}$

Para aplicar a indução no k + 1, podemos substituir o valor de k por k + 1. Todavia, é importante denotar que o somatório de k termos será diferente do somatório de k + 1 apenas pela adição de um número a mais. O número a mais pode ser encontrado usando o termo geral da P.A ou substituindo o n de 2n por k + 1. Assim, teremos que o número a mais será 2k + 2.

Com base no que foi mostrado, podemos fazer a seguinte representação:

$\mathsf{S_k=k(k+1)}\\\\\mathsf{S_k+(2k+2)=(k+1)\left[(k+1)+1\right]}\\\\\mathsf{S_k+(2k+2)=(k+1)\left[k+2\right]}\\\\\mathsf{S_k+(2k+2)=k^2+2k+k+2}\\\\\mathsf{S_k+(2k+2)=k^2+k+2k+2}\\\\\mathsf{S_k+\underline{(2k+2)}=k^2+k+\underline{(2k+2)}}$

Eliminando os valores que estão iguais em ambos os membros, teremos uma igualdade idêntica à que foi nos dada no começo.

$\mathsf{S_k=k^2+k}\\\\\mathsf{S_k=k(k+1)~~\checkmark}$

Testado e aprovado.

Qualquer dúvida, deixe nos comentários.
Bons estudos.

Answer 2

✅Após ter finalizado a demonstração, concluímos que a soma dos "n" primeiros números pares, de fato é:

  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf 2 + 4 + 6 + \:\cdots\:+2n = n(n + 1),\:\:\:\forall n\in\mathbb{N}\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a conjectura: "A soma dos n primeiros números pares é igual ao produto de 'n' com seu sucessor 'n + 1' ", ou seja:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered}2 + 4 + 6 + \:\cdots\:+2n = n(n + 1) \end{gathered}$

Se a demonstração será por indução, então, significa dizer que o conjunto universo será o conjunto dos números naturais, isto é:

                                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}\cup = \mathbb{N} \end{gathered}$

Desta forma, todo número par "p" poderá ser montado da seguinte forma:

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} p = 2n,\:\:\:\foral n\in\mathbb{N}\end{gathered}$

Para demonstrar isto utilizando a técnica de indução devemos:

            $\Large\begin{cases}\bf 1^{\underline{o}}\:\:\:Provar\:base\:de\:induc_{\!\!,}\tilde{a}o\\ \bf 2^{\underline{o}}\:\:\:Elaborar\:hip\acute{o}tese\:de\:induc_{\!\!,}\tilde{a}o\\ \bf 3^{\underline{o}}\:\:\:Provar\:hip\acute{o}tese\:de\:induc_{\!\!,}\tilde{a}o\end{cases}$

• Provando a base de indução:

        Se:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} n = 1\:\:\:\Longrightarrow\:\:\:p = 2\cdot1 = 2\end{gathered}$

         Então, temos:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}2 = 1(1 + 1) \end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}2 = 1\cdot2 \end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}2 = 2 \end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:S(1)\:\:\:\acute{e}\:\:\:Verdadeiro \end{gathered}$

• Elaborando a hipótese de indução:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} S(k) = 2 + 4 + 6 +\:\cdots\:+2k = k(k +1)\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:S(k)\:\:\:\acute{e}\:\:\:Verdadeiro \end{gathered}$

• Provando a hipótese de indução:

        Assumindo que:

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered}S(k)\:\:\:\acute{e}\:\:\:Verdadeiro \end{gathered}$

         Devemos provar que:

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} S(k + 1)\:\:\:\acute{e}\:\:\:Verdadeiro\end{gathered}$

         Então, temos:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} S(k + 1) = \underbrace{2 + 4 + 6 +\:\cdots\:+2k}_{\bf S(k)} + \:(2k + 2)\end{gathered}$

          Substituindo o primeiro agrupamento por "S(k)":

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}= k(k + 1) + (2k + 2) \end{gathered}$

          Escrevendo a segunda parcela como múltiplo de "k + 1":

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}= k(k + 1) + 2(k + 1) \end{gathered}$

          Colocando o termo "k + 1" em evidência:

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}= (k + 1)\cdot(k + 2) \end{gathered}$

          Escrevendo o termo "k + 2" como sendo "k + 1" acrescido da unidade:

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}= (k + 1)\cdot[(k + 1) + 1] \end{gathered}$

           Portanto:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}S(k + 1) = (k + 1)\cdot[(k + 1) + 1] \end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:S(k + 1)\:\:\:\acute{e}\:\:\:Verdadeiro \end{gathered}$

De fato, temos:

• n = 1,     temos      p =2.1 = 2

                                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}2 = 2 \end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:S(1) = 1(1 + 1) = 1\cdot2 = 2 \end{gathered}$

• n = 2,     temos      p = 2.2 = 4

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2 + 4 = 6\end{gathered}$

                $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:S(2) = 2(2 + 1) = 2\cdot3 = 6 \end{gathered}$

             

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