Question

Prove por indução que:


5^n − 4n − 1 é um múltiplo de 16 para qualquer ∈ ℕ.

Answer 1

Primeiro, vamos verificar que a propriedade indicada é válida para $n=1$:

$5^1 - 4 \times 1 - 1 = 5 - 4 -1 = 0,$

que pode ser considerado múltiplo de $16$ nas definições de alguns autores. Por isso, verificamos também $n = 2$:

$5^2 - 4 \times 2 - 1 = 25 - 8 - 1 = 16,$

que é múltiplo de $16$.

Provamos agora que se $5^n - 4n- 1$ é múltiplo de $16$, então $5^{n+1} - 4(n+1) - 1$ também o é. Temos:

$5^{n+1} - 4(n+1) - 1 = 5 \times 5^n - 4n - 4 - 1 = 5 \times 5^n - 4n - 5.$

Vamos agora somar e subtrair $20n$ à equação e colocar o fator comum $5$ em evidência:

$5 \times 5^n \underbrace{- 4n + 20n}_{=16n} - 20n -5 = 5\times(5^n - 4n - 1) + 16n.$

Por hipótese, $5^n - 4n - 1$ é múltiplo de $16$, pelo que existe um número $k \in \mathbb{N}$ tal que:

$5^n - 4n - 1 = 16k$.

Substituímos então na igualdade anterior para obter:

$5\times\underbrace{(5^n - 4n - 1)}_{=16k} + 16n = 16 \times 5k + 16n = 16 \times (5k + n).$

Como $K = 5k + n$ é um número natural, verificamos que:

$5^{n+1} - 4(n+1) - 1 = 16K,$

ou seja, é múltiplo de $16$.

A propriedade fica então provada por indução.