Question

Prove por indução que:

Answer 1

Resposta:

Provado, eu acho.

Explicação passo-a-passo:

Lá em cima... nas três fotos.

Qualquer equívoco, só avisar.

Espero ter ajudado!!!

Answer 2

Vamos inicialmente provar que $1^2+2^2+\cdots+(n-1)^2<\frac{n^3}{3},\;\forall n\geq 2$. Partindo do pressuposto de que essa relação é válida para um número natural $k$, ou seja, $1^2+2^2+\cdots+(k-1)^2<\frac{k^3}{3}$ é verdade, vamos provar que ela é válida para $k+1$:

$1^2+2^2+\cdots+(k-1)^2+k^2<\frac{(k+1)^3}{3}$

$1^2+2^2+\cdots+(k-1)^2+k^2<\frac{k^3+3k^2+3k+1}{3}$

$1^2+2^2+\cdots+(k-1)^2+k^2<\frac{k^3}{3}+\frac{3k+1}{3}+k^2$

$1^2+2^2+\cdots+(k-1)^2+k^2-k^2<\frac{k^3}{3}+\frac{3k+1}{3}$

$1^2+2^2+\cdots+(k-1)^2<\frac{k^3}{3}+\frac{3k+1}{3}$

De fato, se $1^2+2^2+\cdots+(k-1)^2<\frac{k^3}{3}$, então $1^2+2^2+\cdots+(k-1)^2$ também é menor que a soma de $\frac{k^3}{3}$ por qualquer número não negativo, como é o caso de $\frac{k^3}{3}+\frac{3k+1}{3}$.

Para $k=2$, a inequação é verdadeira pois $1^2<\frac{2^3}{3}$ e, como a inequação também é verdadeira para $k+1$, ela é válida para qualquer número natural maior que 1.

Vamos agora provar que $\frac{n^3}{3}<1+2+\cdots+n^2,\;\forall n\geq 2$. Partindo do pressuposto de que essa relação é válida para um número natural $k$, ou seja, $\frac{k^3}{3}<1+2+\cdots+k^2$ é verdade, vamos provar que ela é válida para $k+1$:

$\frac{(k+1)^3}{3}<1+2+\cdots+k^2+(k+1)^2$

$\frac{k^3+3k^2+3k+1}{3}<1+2+\cdots+k^2+k^2+2k+1$

$\frac{k^3}{3}+\frac{1}{3}+k^2+k<1+2+\cdots+2k^2+2k+1$

$\frac{k^3}{3}+\frac{1}{3}<1+2+\cdots+2k^2+2k+1-k^2-k$

$\frac{k^3}{3}+\frac{1}{3}<1+2+\cdots+k^2+k+1$

$\frac{k^3}{3}<1+2+\cdots+k^2+k+1-\frac{1}{3}$

$\frac{k^3}{3}<1+2+\cdots+k^2+k+\frac{2}{3}$

Assim como no caso anterior, se $\frac{k^3}{3}$ é menor que $1^2+2^2+\cdots+n^2$, então ele também é menor que $1^2+2^2+\cdots+n^2$ somado a qualquer número não negativo, como é o caso de $k+\frac{2}{3}$.

Para $k=2$, a inequação é verdadeira pois $\frac{2^3}{3}<1^2+2^2$ e, como a inequação também é verdadeira para $k+1$, ela é válida para qualquer número natural maior que 1.

Com isso, prova-se que $1^2+2^2+\cdots+(n-1)^2<\frac{n^3}{3}<1^2+2^2+\cdots+n^2,\;\forall n\geq 2$.