Question

Prove por indução que: 1/ 1.5 + 1 /5.9 + 1/ 9.13 + ⋯ + 1/ ( 4n−3)( 4n+1) = n( 4n+1).

Answer 1

Seja P(n) a proposição

$\mathsf{\dfrac{1}{1.5}+\dfrac{1}{5.9}+\dfrac{1}{9.13}...} \\\mathsf{+\dfrac{1}{(4n-3)(4n+1)}} \ = \mathsf{\dfrac{n}{4n+1}}$

Testemos P(1):

$\mathsf{\dfrac{1}{(4.1-3)(4.1+1)} =\dfrac{1}{4.1+1}\to~\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{5}\checkmark}$. Isto é a proposição é verdadeira.

Suponha que a proposição sejan verdade para n, ou seja,

$\mathsf{\dfrac{1}{1.5}+\dfrac{1}{5.9}+\dfrac{1}{9.13}+...\dfrac{1}{(4n-3)(4n+1)} =\dfrac{n}{4n+1}}$.

Se provarmos que a proposição p(n+1) é verdadeira, ou seja, $\mathsf{\dfrac{1}{1.5}+\dfrac{1}{5.9}+\dfrac{1}{9.13}+...\dfrac{1}{(4n-3)(4n+1)} +\dfrac{1}{[4(n+1)-3][4(n+1)+1]} =\dfrac{n+1}{4n+5}}$

então p(n) será verdadeira para todo n.

Demonstração:

Com efeito,

$\mathsf{\dfrac{1}{1.5}+\dfrac{1}{5.9}+\dfrac{1}{9.13}+...\dfrac{1}{(4n-3)(4n+1)}+\dfrac{1}{[4(n+1)-3][4(n+1)+1]}=\dfrac{n}{4n+1}+\dfrac{1}{(4n+1)(4n+5)}}$

$\mathsf{\dfrac{n(4n+5)+1}{(4n+1)(4n+5)}}\\\mathsf{\dfrac{4n^2+5n+1}{(4n+1)(4n+5)}}\\\mathsf{\dfrac{4n^2+4n+n+1}{(4n+1)(4n+5}}$

$\mathsf{\dfrac{4n(n+1)+1(n+1)}{(4n+1)(4n+5)}}\\\mathsf{\dfrac{(4n+1)(n+1)}{(4n+1)(4n+5)}}=\large\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{n+1}{4n+5}}}}}}$

Portanto p(n) é válida para todo n c.q.d.