Question

Prove por indução matemática que 2n^3 > 3n^2 + 3n + 1 para todo n natural ≥ 3

Preciso de ajuda para entender..​​

Answer 1

Mostrando que é verdade para n igual a 3:

$2n^3 > 3n^2 +3n+1$

$2\cdot(3)^3 > 3\cdot(2)^2 +3\cdot(3) +1$

$2\cdot27 > 27+9+1$

$27> 10$

True.

Assumimos a validade de $2n^3 > 3n^2 +3n+1$  para  $n \geq 3$. Devemos provar que serve também para n+1.

$2\cdot(n+1)^3 > 3\cdot(n+1)^2 +3\cdot(n+1)+1$

$2\cdot(n^3 +3n^2 +3n +1) > 3\cdot(n^2+2n+1) +3\cdot(n+1)+1$

$2n^3 +6n^2 +6n +2> 3n^2+6n+3+3n+3+1$

$2n^3 +6n^2 +2> 3n^2+3n+7$

$2n^3 +3n^2 > 3n+5$  

$2n^3 >3n+5-3n^2$

Assumimos que $2n^3 > 3n^2 +3n+1$, agora veremos se$3n^2 +3n+1>3n+5-3n^2$ dentro do nosso intervalo.

$3n^2 +3n+1>3n+5-3n^2$

$6n^2 > 4$

$n^2 > \dfrac{4}{6}$

$|n| > \sqrt{\dfrac{4}{6}}$

$|n| > \sqrt{\dfrac{2}{3}}$

$|n| > \dfrac{\sqrt{6}}{3}$

Não nos interessa a parte negativa.

$n > \dfrac{\sqrt{6}}{3}$

Observe que:

$3 > \dfrac{\sqrt{6}}{3}$

Então está provado que $2n^3 > 3n^2 +3n+1$, para $n \geq 3$.