Question

Prove por indução matemática que: 
1³ + 2³ + ... + (n)³ = 2² (n + 1)²  - Para todo n natural maior ou igual a 1.
                                   4

Answer 1

$1^{3}+2^{3}+...+n^{3}=\dfrac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}$

Verificando se a operação é válida para n = 1:

$1^{3}=\dfrac{1^{2}(1+1)^{2}}{4}=\dfrac{1(2)^{2}}{4}=\dfrac{1\cdot4}{4}=1$

Assumindo, por H.I, que vale para n = k:

$1^{3}+2^{3}+...+k^{3}=\dfrac{k^{2}(k+1)^{2}}{4}$

Com isso, queremos mostrar que vale para n = k + 1. Isso é:

$1^{3}+2^{3}+...+k^{3}+(k+1)^{3}=\dfrac{(k+1)^{2}(k+2)^{2}}{4}$
_____________________________

Pela hipótese de indução, temos que

$1^{3}+2^{3}+...+k^{3}=\dfrac{k^{2}(k+1)^{2}}{4}$

Somando (k + 1)³ aos dois lados da igualdade:

$1^{3}+2^{3}+...+k^{3}+(k+1)^{3}=\dfrac{k^{2}(k+1)^{2}}{4}+(k+1)^{3}\\\\1^{3}+2^{3}+...+(k+1)^{3}=\dfrac{k^{2}(k+1)^{2}+4(k+1)^{3}}{4}$

Colocando (k + 1)² em evidência:

$1^{3}+2^{3}+...+(k+1)^{3}=\dfrac{(k+1)^{2}\cdot(k^{2}+4[k+1])}{4}\\\\\\1^{3}+2^{3}+...+(k+1)^{3}=\dfrac{(k+1)^{2}\cdot(k^{2}+4k+4)}{4}$

Como k² + 4k + 4 = (k + 2)² (expansão do quadrado da soma):

$1^{3}+2^{3}+...+(k+1)^{3}=\dfrac{(k+1)^{2}\cdot(k+2)^{2}}{4}$

Como queríamos mostrar.

Concluímos, por indução matemática, que a operação é válida ∀ n ≥ 1.

Answer 2

✅ Após terminada a demonstração, concluímos que a soma dos cubos dos "n" primeiros números naturais, de fato é:

    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \:\cdots\:+n^{3} = \frac{n^{2}(n + 1)^{2}}{4},\:\:\:\forall n\in\mathbb{N} \:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja:

             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}1^{3} + 2^{3} + 3^{3} +\:\cdots\:+n^{3} = \frac{n^{2}(n + 1)^{2}}{4} \end{gathered} }$

Para demonstrar isto utilizando a técnica de indução devemos:

             $\Large\begin{cases}\bf 1^{\underline{o}}\:\:\:Provar\:base\:de\:induc_{\!\!,}\tilde{a}o\\ \bf 2^{\underline{o}}\:\:\:Elaborar\:hip\acute{o}tese\:de\:induc_{\!\!,}\tilde{a}o\\ \bf 3^{\underline{o}}\:\:\:Provar\:hip\acute{o}tese\:de\:induc_{\!\!,}\tilde{a}o\end{cases}$

• Provando a base de indução:

        Se:

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} n = 1\end{gathered}$

        Temos:

                  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}1 = \frac{1^{2}(1 + 1)^{2}}{4} \end{gathered} }$

                  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}1 = \frac{1\cdot2^{2}}{4} \end{gathered} }$

                  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}1 = \frac{1\cdot{\!\diagup\!\!\!\!4}}{\!\diagup\!\!\!\!4} \end{gathered} }$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} 1 = 1\end{gathered}$

            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:S(1)\:\:\:\acute{e}\:\:\:Verdadeiro \end{gathered}$

• Hipótese de indução:

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}S(k) = 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \:\cdots\:+k^{3} = \frac{k^{2}(k + 1)^{2}}{4} \end{gathered} }$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:S(k)\:\:\:\acute{e}\:\:\:Verdadeiro \end{gathered}$

Sendo a base de indução verdadeira, e com uma hipótese formulada, devemos demonstrar que a hipótese de indução também é verdadeira.

• Provando a hipótese de indução:

        Assumindo que:

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} S(k)\:\:\:\acute{e}\:\:\:Verdadeiro\end{gathered}$

        Devemos provar que:

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}S(k + 1)\:\:\:\acute{e}\:\:\:Verdadeiro \end{gathered}$

        Então, temos:

            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}S(k + 1) = \underbrace{1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \:\cdots \:+k^{3}}_{\bf S(k)} + (k + 1)^{3} \end{gathered} }$

        Substituindo "S(k)", temos:

                                $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{k^{2}(k + 1)^{2}}{4} + (k + 1)^{3} \end{gathered} }$

         Calculando o "MMC" dos denominadores:

                                $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{k^{2}(k + 1)^{2} + 4(k + 1)^{3}}{4} \end{gathered} }$

          Colocando o termo "k + 1" em evidência:

                                $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{(k + 1)^{2}\cdot[k^{2} + 4(k + 1)]}{4} \end{gathered} }$

           Desenvolvendo o 2º fator do numerador:

                                $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{(k + 1)^{2}\cdot(k^{2} + 4k + 4)}{4} \end{gathered} }$

          Fatorando o 2º fator do numerador:

                                $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{(k + 1)^{2}\cdot(k + 2)^{2}}{4} \end{gathered} }$

           Escrevendo o termo "k + 2" como sendo "k + 1" acrescido da  unidade:

                                $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{(k + 1)^{2}\cdot[(k + 1) + 1]^{2}}{4} \end{gathered} }$

        Portanto:

            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}S(k + 1) = \frac{(k + 1)^{2}\cdot[(k + 1) + 1]^{2}}{4} \end{gathered} }$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:S(k + 1)\:\:\:\acute{e}\:\:\:Verdadeiro \end{gathered}$

De fato, temos:

• n = 1

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} 1^{3} = 1\end{gathered}$    

              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\therefore\:\:\:S(1) = \frac{1^{2}(1 + 1)^{2}}{4} = \frac{1\cdot2^{2}}{4} = \frac{1\cdot{\!\diagup\!\!\!\!4}}{\!\diagup\!\!\!\!4} = 1 \end{gathered} }$

• n = 2

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} 1^{3} + 2^{3} = 9\end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\therefore\:\:\:S(2) = \frac{2^{2}(2 + 1)^{2}}{4} = \frac{2^{2}\cdot3^{2}}{4} = \frac{{\!\diagup\!\!\!\!4}\cdot9}{\!\diagup\!\!\!\!4} = 9 \end{gathered} }$

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