Matemática, perguntado por GutoG, 1 ano atrás

Prove por indução matemática a seguinte proposição:
(a) p(n): 1 + 3 + 6 + ... + n(n+1)/2 = n(n+1)(n+2)/6

Alguém poderia ser didático? Não quero só a resposta, tenho interesse em entender como é feito.


DanJR: Em qual parte, Guto, tens mais dúvidas?
GutoG: Olá Dan, eu sou programador e cai de paraquedas nesse tema, indução matemática é utilizada por vários algoritmos para várias finalidades. Eu sei os conceitos e resolver proposições mais simples. Porém esse é um exemplo do livro e mesmo resolvido eu não consegui entende-lo. Se fosse possível eu gostaria da resolução junto de um breve explicação do porque cada coisa ocorre. Ficaria grato.

Soluções para a tarefa

Respondido por DanJR
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Olá!

Façamos uma indução em n.

PASSO BASE: a fórmula é verdadeira para \mathrm{n = 1}

Verifiquemos:

\\ \displaystyle \mathsf{\frac{n(n + 1)}{2} = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{6}} \\\\\\ \mathsf{\frac{1 \cdot 2}{2} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6}} \\\\\\ \mathsf{1 = 1 \qquad (V)}


PASSO INDUTIVO: se a fórmula é verdadeira para \mathrm{n = k}, então é verdadeira para \mathrm{n = k + 1}; segundo o Princípio da Indução Finita.

- Hipótese de indução:

\displaystyle \mathsf{1 + 3 + 6 + ... + \frac{k(k + 1)}{2} = \frac{k(k + 1)(k + 2)}{6}}

- Devemos mostrar que:

\\ \displaystyle \mathsf{1 + 3 + 6 + ... + \frac{k(k + 1)}{2} + \frac{(k + 1)(k + 2)}{2} = \frac{(k + 1)[(k + 1) + 1][(k + 1) + 2]}{6}} \\\\\\ \mathsf{1 + 3 + 6 + ... + \frac{k(k + 1)}{2} + \frac{(k + 1)(k + 2)}{2} = \frac{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{6}}


 Segue,

\\ \displaystyle \underbrace{\mathsf{1 + 3 + 6 + ... + \frac{k(k + 1)}{2}}}_{\mathsf{hip\acute{o}tese \ indutiva}} + \mathsf{\frac{(k + 1)(k + 2)}{2} =} \\\\\\ \mathsf{\frac{k(k + 1)(k + 2)}{6} + \frac{(k + 1)(k + 2)}{2} =} \\\\\\ \mathsf{\frac{k(k + 1)(k + 2) + 3(k + 1)(k + 2)}{6} =} \\\\\\ \mathsf{\frac{(k + 1)(k + 2) \cdot \left [ k + 3 \right ]}{6} =} \\\\\\ \mathsf{\frac{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{6}} \\\\\\ \blacksquare

 Que é o que queríamos demonstrar!


Guto, a ideia da indução é a seguinte: você tem uma fórmula e deve verificar se ele é verdadeira para um elemento mínimo (geralmente, é o UM), por conseguinte, você deve verificar se a fórmula é verdadeira para o segundo menor elemento, depois pelo terceiro menor e assim sucessivamente. Num determinado momento, depois de cansar de testar diversos valores acabamos acreditando que a fórmula é verdadeira para todos os números, mas verificações sucessivas não são consideradas como prova...

Assim, fazemos uso do PIF que é uma generalização; nele você considera (por hipótese) que a fórmula é verdadeira para um determinado número (k) e também é verdadeira (tese) para o número seguinte (k + 1). Foi isso que fiz acima!

 Espero ter sido claro, caso contrário, comente qualquer dúvida!

Att,

Daniel.



GutoG: Cara, você simplesmente tirou TODAS minhas dúvidas relacionadas ao exercício. Espero que você seja abençoado da melhor forma possível e que continue compartilhando esse seu conhecimento f0d4st1c0. Grande abraço!
DanJR: Que bom, e, obrigado.
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