Question

prove , por indução em n que: 1² - 2² + 3² - 4² + ... + (-1)^(n-1)n² = (1)^(n-1)n(n+1)/2 para todo n maior ou igual a 1

Answer 1

Olá Cesar.


Provar que:

$\mathsf{1^2-2^2+3^2-4^2+...+(-1)^{n-1}\cdot n^2=(-1)^{n-1}\cdot \dfrac{n\cdot(n+1)}{2}~|~~\forall~n \geq 1}$

Verificando se para n = 1 é valido:

$\mathsf{p(1)=(-1)^{1-1}\cdot \dfrac{1\cdot(1+1)}{2}}\\\\\\\mathsf{p(1)=1\cdot\dfrac{2}{2}}\\\\\\\mathsf{p(1)=1~\checkmark}$

______________

Por Hipótese de indução irei assumir que é valido para um determinado n = k.


$\mathsf{1^2-2^2+3^2-4^2+...+(-1)^{k-1}\cdot n^2=(-1)^{k-1}\cdot\dfrac{k\cdot(k+1)}{2}}$


Assumindo que é valido para k, ele deverá ser valido para k + 1.


$\mathsf{(-1)^{k}\cdot\dfrac{(k+1)\cdot(k+2)}{2}~~\gets~Somado~k+1~na~equa\c{c}\~ao.}\\\\\\\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}\\\\\\\mathsf{\underbrace{\mathsf{1^2-2^2+3^2-4^2+...+(-1)^{k-1}\cdot(-1)^{k-1}\cdot k^2}}+(-1)^{k}\cdot(k+1)^2}\\\mathsf{\qquad\qquad\qquad (-1)^{k-1}\cdot\dfrac{k\cdot(k+1)}{2}+(-1)^{k}\cdot (k+1)^2}\\\\\\\mathsf{(-1)^k\cdot \Big((-1)^{-1}\cdot \dfrac{k\cdot(k+1)}{2}+\dfrac{2\cdot(k+1)^2}{2}\Big)}\\\\\\\mathsf{(-1)^{k}\cdot\Big(\dfrac{-k\cdot(k+1)+2\cdot(k+1)^2}{2}\Big)}$

$\mathsf{(-1)^k\cdot\Big(\dfrac{(k+1)\cdot[-k+2\cdot(k+1)]}{2}\Big)}\\\\\\\\\mathsf{(-1)^k\cdot\Big(\dfrac{(k+1)\cdot[-k+2k+2]}{2}\Big)}\\\\\\\\\boxed{\mathsf{(-1)^k\cdot\Big(\dfrac{(k+1)\cdot(k+2)}{2}\Big)}}~~\checkmark$


Dúvidas? comente.