Question

prove por indução 1+3+5...+(2n-1)=n²

Answer 1

Mostrar que a soma dos $n$ primeiros ímpares positivos é $n^2:$

$p(n)=1+3+5+\ldots+(2n-1)=n^2~~~~~~~\text{para }n\text{ natural}\ge 1.$


$\bullet~~$ Verificação do caso base:

Para $n=1,$ vale que

$p(1)=1^2~~~~(\checkmark)$

________________

$\bullet~~$ Hipótese de indução:

Suponha que a fórmula seja verdadeira para um $n-1\ge 1,$ isto é

$p(n-1)=1+3+5+\ldots+\big(2(n-1)-1\big)=(n-1)^2\\\\ p(n-1)=1+3+5+\ldots+(2n-2-1)=(n-1)^2\\\\ p(n-1)=1+3+5+\ldots+(2n-3)=(n-1)^2~~~~~~\text{(hip\'otese de indu\c{c}\~ao)}$

_______________

$\bullet~~$ Provar que a fórmula vale para $n:$

$p(n)=1+3+5+\ldots+(2n-1)\\\\ =\big[1+3+5+\ldots+(2n-3)\big]+(2n-1)$


Aqui usaremos de fato a hipótese de indução. Este é o chamado passo indutivo. Então a igualdade acima fica

$=(n-1)^2+(2n-1)\\\\ =n^2-2n+1+2n-1\\\\ =n^2-2n+2n+1-1\\\\ =n^2\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c} p(n)=1+3+5+\ldots+(2n-1)=n^2 \end{array}}$

como queríamos demonstrar.

Answer 2

✅ Após ter concluído a demonstração concluímos que a soma dos "n" primeiros números ímpares de fato é:

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf 1 + 3 + 5 +\:\cdots\:+(2n - 1) = n^{2},\:\:\:\forall n\in\mathbb{N}\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered}1 + 3 + 5 + \:\cdots\:+ (2n - 1) = n^{2},\:\:\:\forall n\in\mathbb{N} \end{gathered}$

Para demonstrar isto utilizando a técnica de indução, devemos executar três etapas necessárias, que são:

         $\Large\begin{cases}\bf1^{\underline{o}}\:\:\:Provar\:a\:base\:de\:induc_{\!\!,}\tilde{a}o\\ \bf2^{\underline{o}}\:\:\:Elaborar\:hip\acute{o}tese\:de\:induc_{\!\!,}\tilde{a}o\\ \bf3^{\underline{o}}\:\:\:Provar\:hip\acute{o}tese\:de\:induc_{\!\!,}\tilde{a}o\end{cases}$

• Provando a base de indução:

        Se:

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} n = 1\end{gathered}$

        Então, temos:

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} 1 = 1^{2}\end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} 1 = 1\end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:S(1)\:\:\:Verdadeiro \end{gathered}$

• Hipótese de indução:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered}S(k) = 1 + 3 + 5 + \:\cdots\: + (2k - 1) = k^{2} \end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:S(k)\:\:\:Verdadeiro\end{gathered}$

Sendo a base de indução verdadeira, e com uma hipótese formulada, devemos demonstrar que a hipótese de indução também é verdadeira.

• Provando a hipótese de indução:

        Assumindo que:

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} S(k)\:\:\:\acute{e}\:\:\:Verdadeiro\end{gathered}$

        Devemos provar que:

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} S(k + 1)\:\:\:\acute{e}\:\:\:Verdadeiro\end{gathered}$

        Então, temos:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}S(k + 1) = \underbrace{1 + 3 + 5 +\:\cdots\:+ (2k - 1)}_{\bf S(k)} + (2k + 1) \end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}= k^{2} + 2k + 1 \end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}= (k + 1)^{2} \end{gathered}$

        Portanto:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}S(k + 1) = (k + 1)^{2} \end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:S(k + 1)\:\:\:\acute{e}\:\:\:Verdadeiro \end{gathered}$

De fato temos:

• n = 1

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered}1 = 1 \end{gathered}$

            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:S(1) = 1^{2} = 1 \end{gathered}$

• n = 2

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} 1 + 3 = 4\end{gathered}$

            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:S(2) = 2^{2} = 4 \end{gathered}$

• n = 3

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} 1 + 3 + 5 = 9\end{gathered}$

            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:S(3) = 3^{2} = 9 \end{gathered}$

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