Matemática, perguntado por ruan183derzi1, 1 ano atrás

Prove pela definição que a função dada é continua no ponto dado
f(x)= x+1 em p=2

Soluções para a tarefa

Respondido por Lukyo
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Por definição, uma função f é contínua em um ponto p se

\mathbf{(1)}\;\;\;\;p \in \mathrm{Dom}(f)\\ \\ \mathbf{(2)}\;\;\;\forall~\varepsilon>0\,,~\exists~\delta >0\,\text{ tal que}\\\\ ~~~~~~~~\text{se }0<|x-p|<\delta\,,\text{ ent\~{a}o }|f(x)-f(p)|<\varepsilon.

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Dados

f(x)=x+1\;\;\text{ e }\;\;p=2,

é evidente que a condição \mathbf{(1)} é satisfeita, pois p=2 é um ponto do domínio de f.


Vamos agora garantir \mathbf{(2)}:

Para qualquer 
\varepsilon>0\,, garantir a existência de algum \delta>0:


Resolver a inequação |f(x)-f(p)|<\varepsilon:

|f(x)-f(2)|<\varepsilon\\ \\ |(x+1)-(2+1)|<\varepsilon\\ \\ |x-2|<\varepsilon

Ora, da última desigualdade acima, basta que tomemos

\delta =\varepsilon


Assim, garantimos que

\text{se }0<|x-2|<\delta\,,\text{ ent\~{a}o }|f(x)-f(2)|<\varepsilon.


Logo, f é contínua em 2.

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