Question

Prove pela definição de limite que $\lim_{x \to \ 1} x^3 =1$.

Answer 1

Olá, Vinícius.

Para resolver esse problema, usaremos de bibliografia dois textos: Alice no País das Maravilhas e os quadrinhos do Super Man :)

Usaremos duas frases dessas referências para o cálculo:
"Comece pelo começo e prossiga até chegar ao fim. Então pare."
"Para o alto e avante"

O enunciado da definição formal de limite é:

$\mathsf{\forall\epsilon\ \textgreater \ 0~~ \exists \delta\ \textgreater \ 0: ~~ |x-a|\ \textless \ \delta\Rightarrow|f(x)-L|\ \textless \ \epsilon}$

Vou começar pela solução rápida:

Produto notável usado:

$\mathsf{a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)}$

$\mathsf{|x^3-1|= |x-1||x^2+x+1|}$

Mas como |x-1| < δ

$\mathsf{|x-1||x^2+x+1|\ \textless \ \delta |x^2+x+1|}$

Entretanto, x está muito próximo de a = 1, podemos dizer que sua distância a esse ponto é menor que 1:

|x - 1| < 1 → x < 2

Assim, x² + x + 1 < 7

Logo:

$\mathsf{|x^3-1|\ \textless \ 7\delta=\epsilon}$

Assim, δ = ε/7 é uma escolha conveniente.

Veja, porém, que arbitramos |x-1| < 1, e que por isso δ poderia ser 1. Assim, para termos segurança, tomemos δ = min{ε/7, 1}

Logo:
Para |x-1| < δ vem:

|x³ - 1| = |x - 1| |x² + x + 1|

Como |x - 1| < 1, temos que x < 2 e assim x² + x + 1 < 7. Além disso, |x - 1| < ε/7. Disso:

|x³ - 1| = |x - 1| |x² + x + 1| < (ε/7) . 7 = ε

|x³ - 1| < ε 

Provado.

Esse modo é mais prático, mas há outro:

|x-1| < δ.

|x³ - 1| = |x - 1| |x² + x + 1| < δ|x² + x + 1 -3x + 3x| = δ|(x-1)² + 3x| <

<δ(|x-1|² + |3x|) < δ(δ² + 3|x|)

Como |x - 1| < δ, vem x < 1 + δ → 3x < 3 + 3δ

δ(δ² + 3|x|) < δ³ + δ(3+3δ) = δ³ + 3δ² + 3δ = ε

Temos a equação δ³ + 3δ² + 3δ - ε = 0


Podemos escrever como:

δ³ + 3δ² + 3δ + 1 = ε + 1

(δ + 1)³ = ε + 1

δ = ∛(ε + 1) - 1

E isso garante que o limite exista. Veja que esse último modo é mais trabalhoso, mas gera um resultado mais preciso.

Bons estudos :)