Question

Prove ou refute que o volume de um cone que possua uma base plana qualquer e um ápice em qualquer ponto no espaço é igual a $V = \frac{bh}{3}$ Onde b é a área da base e h é a distância do ponto-ápice ao plano onde a base está contida. Anexo: Exemplo de um cone qualquer

Answer 1

A demonstração do volume de um cone qualquer está descrita abaixo.

Para provar que o volume de um cone qualquer é $V=\frac{1}{3}Ab.h$, vamos utilizar o Princípio de Cavalieri, que nos diz:

"Considere dois sólidos com a mesma altura e mesma área da base. Se ao seccionarmos esses dois sólidos por um plano paralelo à base formarmos duas figuras de mesma área, então os sólidos terão o mesmo volume.".

Sendo assim, vamos considerar um cone e uma pirâmide, como mostra a figura abaixo.

Utilizando o critério de semelhança, obtemos:

$\frac{A_1}{A}=(\frac{h_1}{h})^2$.

Da mesma forma, temos que:

$\frac{A_2}{A}=(\frac{h_1}{h})^2$

ou seja,

$\frac{A_1}{A}=\frac{A_2}{A}$

A₁ = A₂.

Então, pelo princípio de Cavalieri, o cone tem o mesmo volume da pirâmide.

Como o volume da pirâmide é igual a um terço do produto da área da base pela altura, então concluímos que o volume do cone é igual a $V=\frac{1}{3}Ab.h$.