Question

Prove o critério de divisibilidade do 11 utilizando congruências ou o princípio de indução finita

Isto é, mostre que um número inteiro da forma $\mathsf{a_{n}a_{n-1}...a_{1}a_{0}}$
($\mathsf{a_{n},...,a_{0}}$ são os dígitos do número) é divisível por 11 se, e somente se, $\mathsf{\sum\limits_{k=0}^{n}(-1)^{k}\,a_{k}}$ é um número divisível por 11.

Answer 1

Resolução:

→ Um número é divisível por 11 se a soma alternada de seus algarismos for divisível por 11 ou o resultado for zero.
Ex.87549 = 8-7+5-4+9 = 11 (V)
                  -8+7-5+4-9 = -11 (v)

10 ≡ -1 (mod 11)    → -1 = (-1).11+ 10

Seja N = (an)(an-1)(an-2)...(a2)(a1) um número inteiro de algarismos (ai), logo:
N = 10^n.(an)+10^(n-1)(an-1)+...+10^2.(a2)+(a1)

veja que:
a+b ≡ c+d (mod b)
a.b ≡ c . d (mod b)
se a ≡ c (mod b) e  b ≡ d (mod b)

portanto podemos afirmar que;

10^n(an)+(10^(n-1).(an-1)+...≡ (-1)^n.(an)+(-1)^(n-1).(an-1)+...

pois 10 ≡ -1 (mod 11).

substituindo 10 por -1 no caso N polinomial, teremos
N=(-1)^n.(an)+(-1)^(n-1).(an-1)+...+(-1)^2(an)+(a1)
N=(an)-(an-1)+(an-2)...+(a2)-(a1)

Os termos ficaram alternados,logo N só é divisível por 11 se a soma de seus termos alternados também for divisível por 11..


bons estudos: