Question

Prove cada uma das seguintes afirmações:
a) Se a ≡ b(mod n) e m | n, então a ≡ b(mod m);

b) Se a ≡ b(mod n) e c > 0, então ca ≡ cb(mod cn);

obs:teoria dos números(congruência)

Answer 1

Vamos usar bastante as definições de divisibilidade e congruência, com isso vou definir ambas inicialmente

Definição: Diz-se que um numero inteiro a divide um numero inteiro b se b=ac, para algum $c\in\mathbb{Z}$ e representamos por $a|b$(ou seja, b é múltiplo de a)

Definição: Seja a, b e m números inteiros, m>0. Dizemos que a é congruente a b, módulo m, se $m|b-a$, ou pela definição anterior, $b-a=mt$, para algum $t\in\mathbb{Z}$. Notação $a\equiv b(\, mod \, \,m)$

a) Tudo consiste em mostrar que b-a é multiplo de m

Temos que $a\equiv b(\, mod \, \,n)$, então

$n|b-a\Rightarrow\,\, b-a=nt \quad(I)$

Onde t é um número inteiro e também sabemos que

$m|n\Rightarrow\,\,n=mc\quad(II)$

Onde c é um número inteiro. Substituindo (II) em (I), segue que

$b-a=m(ct)\,\, ,\,\, ct\in\mathbb{Z}$

Assim, concluímos que b-a é múltiplo de m. Portanto

$a\equiv b(\, mod \, \,m)$

b) Analogamente ao item a) precisamos mostrar que cb-ca é múltiplo de cn, ou que cn divide bc-ca. Note que $a\equiv b(\, mod \, \,n)\Rightarrow b-a=nt$, logo

$cb-ca=c(\underbrace{b-a}_{nt})=cn(t)\Rightarrow cb-ca=cn(t)$

Assim cb-ca é múltiplo de cn. Portanto $ca\equiv cb\, (mod\, cn)$.