Question

Prove através de indução que a proposição é verdadeira para todo o inteiro positivo n: 1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6.​

Answer 1

seja p(n) a proposição

${1}^{2}+{2}^{2}+ ... + {n}^{2} \\ = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$

testemos p (1):

${1}^{2} = \frac{1(1 + 1)(2.1 + 1)}{6} \\ = 1 = \frac{1.2.3}{6} = 1$

ou seja p (1) é verdadeira.

Suponha que a proposição seja verdadeira para n, ou seja,

${1}^{2}+{2}^{2}+ ... + {n}^{2} \\ = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$

devemos demonstrar que p(n+1) é verdadeiro , ou seja,

${1}^{2} + {2}^{2} + .... + {n}^{2} + {(n + 1)}^{2} \\ = \frac{( n + 1)(n + 2)(2n + 3)}{6}$

Demonstração:

De fato,

${1}^{2} + {2}^{2} + ... + {n}^{2} + {(n + 1)}^{2} \\ = \\ \frac{n( n+ 1)(2n + 1)}{6}+{(n + 1)}^{2}$

$\frac{n(n + 1)(2n + 1) + 6 {(n + 1)}^{2} }{6} \\ = \\ \frac{(n + 1)(n(2n + 1) + 6(n + 1))}{6}$

$= \\ \frac{(n + 1)(2 {n}^{2} + n + 6n + 6) }{6}$

$\frac{(n + 1)(2 {n}^{2} + 7n + 6)}{6} \\ = \frac{(n + 1).2.(n + \frac{3}{2})(n + 2) }{6}$

$\frac{(n + 1)(2n + 3)(n + 2)}{6} \\ = \frac{(n + 1)(n + 2)(2n + 3)}{6} \\ = p(n + 1)$

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