Question

Prove as seguintes desigualdades quando a>0 e determine quando ocorre a igualdade:
$1)a + \frac{9}{a} \geqslant 6$
$2)2a + \frac{1}{8a} \geqslant 1$
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Answer 1

Resposta:

a)

a+9/a ≥ 6

a²+9  ≥ 6a

a²-6a+9 ≥0

(a-3)² ≥0          ...veja qualquer número elevado ao quadrado não pode ser negativo , a inequação diz isso, então é verdadeira a igualdade. c.q.p.

b)

2a +1/8a ≥ 1

16a² +1 ≥8a

16a²-8a +1 ≥ 0

(4a-1)² ≥ 0 ...veja qualquer número elevado ao quadrado não pode ser negativo , a inequação diz isso, então é verdadeira a igualdade. c.q.p.

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

1)

$a + \frac{9}{a} \geqslant 6$

$a.a + 9 \geqslant 6a$

${a}^{2} + 9 - 6a \geqslant 0$

${a}^{2} - 6a + 9 \geqslant 0$

${a}^{2} - 2(3)(a) + {3}^{2} \geqslant 0$

$(a - 3 {)}^{2} \geqslant 0$

Sempre verdadeira.

A igualdade ocorre quando:

$a - 3 = 0$

$a = 0$

2)

$2a + \frac{1}{8a} \geqslant 1$

$2a(8a) + 1 \geqslant 1(8a)$

$16 {a}^{2} + 1 - 8a \geqslant 0$

$(4a {)}^{2} - 2(4a)(1) + {1}^{2} \geqslant 0$

$(4a - 1 {)}^{2} \geqslant 0$

Sempre verdadeira.

A igualdade ocorre quando:

$4a - 1 = 0$

$4a = 1$

$a = \frac{1}{4}$