Question

Prove a validade da equação cos(x−y) = cosx·cosy + senx·seny

Answer 1

Sabemos que o cosseno da soma é igual a:

cos(x + y) = cos(x).cos(y) - sen(x).sen(y).

Perceba que podemos escrever cos(x - y) da seguinte maneira: cos(x + (-y)).

Sendo assim, utilizando o cosseno da soma, obtemos:

cos(x + (-y)) = cos(x).cos(-y) - sen(x).sen(-y).

Além disso, é importante lembrar que a função seno é ímpar e a função cosseno é par, ou seja,

cos(-a) = cos(a) e sen(-a) = -sen(a).

Daí,

cos(x + (-y)) = cos(x).cos(y) - sen(x).(-sen(y))

ou seja,

cos(x + (-y)) = cos(x).cos(y) + sen(x).sen(y)

Portanto, podemos concluir que o cosseno da diferença é igual a:

cos(x - y) = cos(x).cos(y) + sen(x).sen(y).