Question

Prove a indução matemática que : 2 . 1 + 2 . 2 + 2.3 + ...+2n = n² + n

Answer 1

Primeiro prove que vale para n=1:
2n=n²+n
2.1=1²+1 De fato. É uma igualdade. Então vale para n=1. Vamos ao segundo passo...
Se a propriedade "2.1+2.2+2.3+...+2.n=n²+n" vale para n=k. Deve valer para n=k+1. Logo: (I) 2.1+2.2+2.3+...+2k +2(k+1)=(k+1)²+(k+1)

Vejamos se a igualdade acima é verdadeira:
Sabemos que 2.1+2.2+2.3+...+2k=k²+k   logo podemos substituir na equação (I). Fica assim: 
k²+k+2(k+1)=(k+1)²+(k+1)
  k²+k+2k+2=k²+2k+1²+(k+1)
      k²+3k+2=k²+3k+2    equação é verdadeira para "k+1". Isso significa que a propriedade é valida para n=k, n=k+1 e para qualquer n maior ou igual a 1.