Question

Prove a igualdade
$a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} \geqslant ab + bc + ca$
e determine quando ocorre a igualdade​

Answer 1

Deseja-se provar que:

$\mathsf{a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca}$

e determinar quando a igualdade ocorre.

Para fazer a prova, veja que:

$\mathsf{a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca} \iff\\\\\iff\mathsf{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\geq 0}$

Então provemos que $\mathsf{a^2+b^2+c^2- ab-bc-ca}$ é sempre não negativo.

Multiplique e divida essa expressão por 2:

$\mathsf{\dfrac{2(a^2+b^2+c^2- ab-bc-ca)}{2}}$

Agora aplique a distributiva:

$\mathsf{\dfrac{2(a^2+b^2+c^2- ab-bc-ca)}{2}}=\\\\=\mathsf{\dfrac{2a^2+2b^2+2c^2- 2ab-2bc-2ca}{2}}=\\\\=\mathsf{\dfrac{a^2+a^2+b^2+b^2+c^2+c^2-2ab-2bc-2ca}{2}}$

Reorganizando os termos no numerador:

$\mathsf{\dfrac{a^2+a^2+b^2+b^2+c^2+c^2-2ab-2bc-2ca}{2}}=\\\\=\mathsf{\dfrac{a^2+b^2-2ab+b^2+c^2-2bc+a^2+c^2-2ac}{2}}$

Lembrando que $\mathsf{x^2+y^2-2xy=(x-y)^2}$, temos:

$\mathsf{\dfrac{a^2+b^2-2ab+b^2+c^2-2bc+a^2+c^2-2ac}{2}}=\\\\=\mathsf{\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2}{2}}$

O quadrado de um número é sempre maior ou igual a zero, ou seja,

$(a-b)^2\geq 0,\quad(b-c)^2\geq 0,\quad(a-c)^2\geq 0$

A soma de números não negativos é sempre não negativa. Quando dividimos um número não negativo por 2, o resultado é não negativo. Dessa forma:

$\mathsf{\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2}{2}\geq0}$

Consequentemente,

$\mathsf{a^2+b^2+c^2- ab-bc-ca\geq 0}$,

ou seja,

$\mathsf{a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca}$.

Note que a igualdade ocorre quando $\mathsf{a=b=c}$.

$\dotfill$

Espero que isso seja útil! :)

Dúvidas? Comente.