Question

Prove a identidade:

$\mathsf{cossec^6x-cotg^6x\equiv 1+3\cdot cotg^2x\cdot cossec^2x}$

Sem utilizar os seguintes casos:

$\mathsf{I)~~}\left.\begin{matrix} \mathsf{f\equiv h\hspace{2}} & \\ \mathsf{g\equiv h} & \end{matrix}\right\}~\Rightarrow~\mathsf{f\equiv g}\\\\\\\mathsf{II)~~f-g\equiv 0~\Leftrightarrow~f\equiv g}$

Answer 1

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Seja

$\left\{\! \begin{array}{l} \mathsf{cossec\,x=p}\\ \mathsf{cotg\,x=q}\\ \end{array} \right.$


Temos uma identidade trigonométrica básica que relaciona a cossecante e a cotangente:

$\mathsf{cossec^2\,x-cotg^2\,x=1}$


isto é

$\mathsf{p^2-q^2=1\qquad\quad(i)}$

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Sabendo disso, então

$\mathsf{cossec^6\,x-cotg^6\,x}\\\\=\mathsf{p^6-q^6}\\\\ =\mathsf{(p^3)^2-(q^3)^2}\\\\ =\mathsf{(p^3-q^3)(p^3+q^3)}\quad\leftarrow\quad\textsf{produtos not\'aveis: diferen\c{c}a e soma entre cubos}\\\\ =\mathsf{\big[(p-q)(p^2+pq+q^2)\big]\cdot \big[(p+q)(p^2-pq+q^2)\big]}\\\\ =\mathsf{(p-q)(p+q)\cdot (p^2+pq+q^2)(p^2-pq+q^2)}$

$=\mathsf{(p^2-q^2)\cdot \big[(p^2+q^2)+pq\big]\big[(p^2+q^2)-pq\big]}\\\\ =\mathsf{(p^2-q^2)\cdot \big[(p^2+q^2)^2-(pq)^2\big]}\\\\ =\mathsf{(p^2-q^2)\cdot (p^4+2p^2q^2+q^4-p^2q^2)}\\\\ =\mathsf{(p^2-q^2)\cdot (p^4+2p^2q^2+q^4-p^2q^2-4p^2q^2+4p^2q^2)}\\\\ =\mathsf{(p^2-q^2)\cdot (p^4+2p^2q^2-4p^2q^2+q^4-p^2q^2+4p^2q^2)}$

$=\mathsf{(p^2-q^2)\cdot (p^4-2p^2q^2+q^4+3p^2q^2)}\\\\ =\mathsf{(p^2-q^2)\cdot \big[(p^2-q^2)^2+3p^2q^2\big]}\\\\ =\mathsf{1\cdot \big[1^2+3p^2q^2\big]}\\\\ =\mathsf{1+3p^2q^2}\\\\ =\mathsf{1+3\,cossec^2\,x\,cotg^2\,x}\qquad\quad\checkmark$


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)


Tags:   transformações trigonométricas cossecante cossec csc cotangente cotg cot mudança variável polinômio fatoração produtos notáveis álgebra trigonometria