Question

Prove a desigualdade quando x>0,y>0 e determine quando ocorre a igualdade
$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geqslant 2$
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Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Lembre-se que qualquer número ao quadrado é sempre maior que ou igual a zero.

Partindo disso:

$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geqslant 2$

$\frac{ {x}^{2} + {y}^{2} }{xy} \geqslant 2$

${x}^{2} + {y}^{2} \geqslant 2xy$

${x}^{2} + {y}^{2} - 2xy \geqslant 0$

${x}^{2} - 2xy + {y}^{2} \geqslant 0$

$(x - y{)}^{2} \geqslant 0$

Essa última expressão é sempre verdadeira para qualquer x e y.

A igualdade ocorre quando:

$(x - y {)}^{2} = 0$

$x - y = 0$

$x = y$