Question

Provar que $\frac{1-cosx}{1+cosx} = (cossec x-cotgx)^{2}$

Answer 1

Oi Cristiano.

Temos que saber primeiramente que:

$cossecx=\frac { 1 }{ senx } \\ \\ cotgx=\frac { cosx }{ senx }$

Primeiramente vamos fazer a distributiva.

$(cossecx-cotgx)*(cossecx-cotgx)=cosse^{ 2 }x-2cossecx*cotgx \\ +cotg^{ 2 }x$

Agora vamos trocar os valores que eu coloquei no início.

$\frac { 1-cosx }{ 1+cosx } =\frac { 1 }{ sen^{ 2 }x } -2*\frac { 1 }{ sen^{ 2 }x } *\frac { cosx }{ senx } +\frac { cos^{ 2 }x }{ sen^{ 2 }x }$

$\frac { 1-cosx }{ 1+cosx } =\frac { 1 }{ sen^{ 2 }x } -\frac { -2cosx }{ sen^{ 2 }x } +\frac { cos^{ 2 }x }{ sen^{ 2 }x }$

O denominador é igual, então vamos colocar tudo junto.

$\frac { 1-cosx }{ 1+cosx } =\frac { 1-2senxx+cos^{ 2 }x }{ sen^{ 2 }x }$

$\frac { 1-cosx }{ 1+cosx } =\frac { 1-2cosxx+cos^{ 2 }x }{ sen^{ 2 }x }$

Vamos colocar em evidência e fazer s substituição:
sen²x+cos²x=1
sen²x=1-cos²x


$\frac { 1-cosx }{ 1+cosx } =\frac { (1-cosx)^{ 2 } }{ 1-cos^{ 2 }x }$

$\frac { 1-cosx }{ 1+cosx } =\frac { (1-cosx)(1-cosx) }{ (1+cosx)(1-cosx) }$

$\frac { 1-cosx }{ 1+cosx } =\frac { 1-cosx }{ 1+cosx }$

Answer 2

A prova que $\frac{1-cos(x)}{1+cos(x)}=(cossec(x)-cotg(x))^2$ está descrita abaixo.

Vamos desenvolver o lado direito da igualdade, ou seja, (cossec(x) - cotg(x))².

É importante lembrarmos que a cossecante é a inversa do seno e a cotangente é a inversa da tangente, ou seja:

• $cossec(x)=\frac{1}{sen(x)}$ e $cotg(x)=\frac{cos(x)}{sen(x)}$.

Substituindo esses valores em (cossec(x) - cotg(x))², obtemos:

$(cossec(x)-cotg(x))^2=(\frac{1}{sen(x)}-\frac{cos(x)}{sen(x)})^2=(\frac{1-cos(x)}{sen(x)})^2=\frac{(1-cos(x))^2}{sen^2(x)}$.

A relação fundamental da trigonometria nos diz que:

• sen²(x) + cos²(x) = 1.

Então, podemos dizer que sen²(x) = 1 - cos²(x). Dito isso, temos que:

$(cossec(x)-cotg(x))^2=\frac{(1-cos(x))^2}{1-cos^2(x)}=\frac{(1-cos(x))^2}{(1-cos(x)).(1+cos(x))}$.

Isso é válido, porque:

• a² - b² = (a - b).(a + b).

No numerador, podemos dizer que (1 - cos(x))² = (1 - cos(x)).(1 - cos(x)). Portanto:

$(cossec(x)-cotg(x))^2=\frac{(1-cos(x)).(1-cos(x))}{(1-cos(x)).(1+cos(x))}=\frac{1-cos(x)}{1+cos(x)}$.

Veja que encontramos o lado esquerdo da igualdade inicial. Assim, provamos o que foi pedido.

Para mais informações sobre trigonometria, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/20622605