Question

Provar que se os lados de um triângulo retangulo estao em P.A , então o raio do circulo inscrito nesse triangulo é igual a razão da P.A

Answer 1

Explicação:

O raio do circulo inscrito no triângulo é R

I) R = (b + c - a)/2

como demonstrado na imagem em anexo.

Segundo o teorema de Pitágoras

II) a² = b² + c²

E se os lados do triangulo são uma PA então

a = x+q

b = x

c = x-q

Sendo q a razão da PA.

Substituindo esses valores em I) nós temos que:

R = (x + x - q - (x + q))/2

R = (2x - q -x - q)/2

III) R = (x - 2q)/2

Substituindo em II) temos:

(x+q)² = x² + (x-q)²

x² + 2xq + q² = x² + x² -2xq + q²

4xq = x²

x² - 4xq = 0

x.(x - 4q) = 0

x = 0

x = 4q

E agora substituindo em III)

R = (x - 2q)/2

R = (4q - 2q)/2

R = 2q/2

R = q

Assim prova-se que o raio do círculo é igual a razão da PA.