Question

Provar que os pontos A (5,1,5), B (4,3,2) e C (-3,-2,1) mostrar que o triângulo ABC é retângulo em B

Answer 1

Para provar que o triângulo ABC é retângulo em B, temos que lembrar do conceito de produto escalar e como ele nos indica perpendicularidade, então vamos lembrar da definição de produto interno no $\large\mathbb{R}^3$

                                     $\Large\left<\vec{u},\,\vec{v}\,\right> = \left|\left|\vec{u}\right|\right|\cdot \left|\left|\vec{v}\right|\right|\cos\theta$

Note que há um cosseno nesta equação, ou seja, quando eles forem perpendiculares, o produto interno será zero, podemos definir o produto interno de outra forma, que será a que vamos utilizar, assim:

                                     $\Large\text{&\left<\vec{u},\,\vec{v}\,\right> = u_1\,v_1 +u_2\,v_2 +u_3\,v_3 }$

Esse produto interno é o usual e pode ser extendido para $\large\mathbb{R}^n$, ficando assim:

                                         $\Large \displaymode \left<u,\,v\right> = \sum\limits_{i = 1}^{n}u_iv_i$

Portanto, vamos provar agora que ele é de fato retângulo em B, mostrando que os vetores $\large\overrightarrow{AB} \text{ e } \overrightarrow{BC}$ são perpendiculares.

Para isso temos que lembrar como transformar dois pontos em um vetor, é muito simples:

                                            $\large\overrightarrow{AB} = B - A$

Portanto vamos fazer isso:

                                          $\large\begin{aligned}\overrightarrow{AB} &= B - A\\\\\overrightarrow{AB} &= (4,\,3,\,2) - (5,\,1,\,5)\\\\\overrightarrow{AB} &= (4-5,\,3-1,\,2-5)\\\\\overrightarrow{AB} &= (-1,\,2,\,-3)\\\\\end{aligned}$

Agora para o outro vetor:

                                          $\large\begin{aligned}\overrightarrow{BC} &= C- B\\\\\overrightarrow{BC} &= (-3,\,-2,\,1)- (4,\,3,\,2)\\\\\overrightarrow{BC} &= (-3-4,\,-2-3,\,1-2)\\\\\overrightarrow{BC} &= (-7,\,-5,\,-1)\\\\\end{aligned}$

E agora basta provar que eles são perpendiculares fazendo o produto interno.

$\large\begin{aligned}\left<\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC} \right> &= (-1,\, 2,\, -3) \cdot (-7,\, -5,\, -1)\\\\\left<\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC} \right> &= (-1 \cdot (-7))+ (2\cdot (-5))+(-3\cdot (-1))\\\\\left<\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC} \right> &= 7 -10 + 3\\\\\left<\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC} \right> &= 10 -10\\\\\left<\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC} \right> &= 0\\\\\end{aligned}$

Portanto eles são perpendiculares, o ângulo entre eles é 90º, logo é um triângulo retângulo.

Espero ter ajudado,

Qualquer dúvida respondo nos comentários.

Segue o gráfico da questão

Obs: 90º = 1,5708 rad