Question

Provar que o conjunto {u + v - 3w, u + 3v - w, v + w} é L.D

Answer 1

Um conjunto de vetores é considerado LD quando existe uma combinação linear desses vetores que resulta em 0, na qual nem todos os coeficientes são nulos.Assim, vamos tomar uma combinação linear desses vetores que resulte em 0:

$\alpha(u+v-3w)+\beta(u+3v-w)+\gamma(v+w)=0\\\\ (\alpha+\beta)u+(\alpha+3\beta+\gamma)v+(-3\alpha-\beta+\gamma)w=0$

Uma possibilidade para que a equação acima seja verdadeira é o caso em que os coeficientes de $u$, $v$ e $w$ são mutuamente nulos. Vejamos se esse caso é possível:

$\begin{cases}\alpha+\beta=0\Longrightarrow \beta=-\alpha~~~(i)\\\alpha+3\beta+\gamma=0~~~(ii)\\-3\alpha-\beta+\gamma=0~~~(iii)\end{cases}$

Substituindo (i) em (ii):

$\alpha+3\beta+\gamma=0\\\\ \alpha+3(-\alpha)+\gamma=0\\\\ -2\alpha+\gamma=0\\\\ \gamma=2\alpha~~~(iv)$

Substituindo (i) e (iv) em (iii):

$-3\alpha-\beta+\gamma=0\\\\ -3\alpha-(-\alpha)+2\alpha=0\\\\ -3\alpha+\alpha+2\alpha=0$

A equação acima é verdade para todo $\alpha\in\mathbb{R}$. Logo, há infinitas soluções para o sistema que vimos anteriormente, que, parametrizadas para um $t\in\mathbb{R}$ podem ser escritas como:

$\begin{cases}\alpha=t\\\beta=-t\\\gamma=2t\end{cases}$

Substituindo essa solução geral na última combinação linear de u, v e w, chegamos a:

$(\alpha+\beta)u+(\alpha+3\beta+\gamma)v+(-3\alpha-\beta+\gamma)w=0\\\\ (t+(-t))u+(t+3(-t)+2t)v+(-3t-(-t)+2t)w=0\\\\ (t-t)u+(t-3t+2t)v+(-3t+t+2t)w=0\\\\ 0\cdot u+0\cdot v+0\cdot w=0$

Mostrando a validade da solução. Logo, qualquer combinação linear dos vetores do conjunto $\{u + v - 3w, u + 3v - w, v + w\}$ com coeficientes da forma $(t,-t,2t)$ é nula, o que mostra que o conjunto é LD.   $\blacksquare$